Matemáticas II · Andalucía · 10 enunciados del archivo histórico.
Elige una pregunta para practicar. Este archivo reúne los enunciados recuperados de esa convocatoria; la elección de preguntas y los criterios pueden diferir de los de tu curso.
Ejercicio 1
Integrales
Un objeto se mueve en línea recta con una velocidad (medida en metros por segundo) definida por 28t−t[]la función , dada por v(t)=, donde t representa el tiempo en segundos. v:0,8→2(t+1)a) Calcula la distancia total (en metros) que recorre el objeto durante los primeros 8 segundos, sabiendo que la distancia es la integral del valor absoluto de la función velocidad. []b) Si el objeto se hubiera movido con una velocidad , con para todo w:0,8→w(t)>v(t)[]t∈0,8, razona sin calcular la integral, si el objeto hubiera recorrido una distancia mayor o menor en los 8 segundos.
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Antes de hacer cuentas, revisa qué te pide el ejercicio y qué condiciones necesita el método. Puedes volver a la explicación del bloque y practicar una variante con apoyo.
La suma de la longitud de una circunferencia y el perímetro de un cuadrado son 10 metros. a) ¿Cuáles deben ser las longitudes del radio de la circunferencia y de un lado del cuadrado para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima? b) ¿Es posible determinar las longitudes del radio de la circunferencia y de un lado del cuadrado para que la suma de las áreas sea máxima?
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El beneficio (en miles de euros) que obtiene una empresa al vender xmiles de unidades de un []32producto viene dado por la función: B(x)=−2x+15x+36, donde x está en el intervalo 0,8. Se pide: a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento del beneficio y localiza los valores de x en los que se alcanzan máximos y mínimos relativos. Calcula también el valor máximo y mínimo absolutos del beneficio en dicho intervalo. b) Justifica razonadamente que decisión tomaría la empresa en función de los resultados y por que en los problemas de optimización en intervalos cerrados es imprescindible comparar los extremos relativos con los valores en los extremos del intervalo.
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1∫2xx⋅edxa) ¿La integral es positiva, negativa o cero? Justifica la respuesta sin calcular la −1integral. 2xb) Calcula el área del recinto acotado y limitado por la gráfica de la función f(x)=x⋅e, el eje de abscisas y las rectas x=0 y x=2.
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32a) Calcula los valores a, b, c, d de la función polinómica f(x)=ax+bx+cx+d, sabiendo que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de inflexión (1,0) es y=3x−3 y que el punto de abscisa x=0 es un extremo relativo. b) Halla dos funciones polinómicas: la primera que tenga un único extremo relativo y la segunda que no contenga ninguno.
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xln(x)Sea la función definida por f(x)=. f:(0,+∞)→2xx+ea) Calcula . Interpreta gráficamente el resultado. limf(x)x→+∞b) Calcula . Interpreta gráficamente el resultado. limf(x)+x→0
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[]2−xSea la función f(x)=x⋅e definida en el intervalo 0,3. 3∫2−x0<x⋅edx<2a) Sin efectuar el cálculo de la integral razona, explica y justifica por qué 032−xx⋅edxb) Calcula el valor exacto de 0
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2Sea f:→ la función definida por f(x)=x+4x+3. Encuentra los valores del parámetro apara los que la recta que pasa por el origen es tangente a la gráfica de f. ¿Cuál es la abscisa y=axde los puntos de tangencia?
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xSea la función definida por f(x)=ea+2, donde a>0 es un parámetro. Responde a f:→las siguientes cuestiones: a) Determina el valor de a para que exista una primitiva de cuya grafica pase por los puntos f(x) y . Calcula dicha primitiva. (0,0)(a,e+1)2b) Si es una primitiva de , justifica si es posible o no que la función G(x)=F(x)+xF(x)f(x)también lo sea. af(x)dx=ec) Calcula a para que 0
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2x−2x−3f(x)=Considera la función sí . x≠1,−12x−1a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) ¿Es creciente f en el conjunto ? Justifica tu respuesta (−1,1)∪(1,+∞)
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