Binomial y normal

Binomial: contar éxitos en un número fijo de intentos

Contestas al azar 5 preguntas con 4 opciones y una correcta. Cada pregunta tiene varias respuestas, pero para contar aciertos solo separas correcta e incorrecta. Puedes acertar 0, 1, 2, 3, 4 o 5.

Usas la binomial si se cumplen cuatro cosas: el número de intentos está fijado, cada uno se clasifica en éxito o fallo, la probabilidad de éxito es siempre la misma y un intento no cambia la de los demás. Aquí, si eliges cada respuesta al azar e independientemente, $p$ es $1/4$ y $n$ es 5.

«Éxito» significa lo que estás contando, no necesariamente algo bueno: puede ser una pieza defectuosa. Si sacas sin devolver, cambian las probabilidades. Si pruebas hasta acertar, no has fijado el número de intentos. Ninguno de esos casos es una binomial exacta.

Prueba con un ejemplo pequeño

Respondes al azar e independientemente cinco preguntas de cuatro opciones, una correcta. Define el número de aciertos.

1. Define $X=$ número de respuestas correctas. Cada pregunta cuenta como éxito si aciertas; las tres opciones incorrectas se reúnen como fallo.
2. Harás las cinco preguntas aunque aciertes antes: $n=5$. Hay una opción correcta de cuatro, elegidas al azar: $p=1/4$. El fallo tiene probabilidad $1-p=1-1/4=3/4$.
3. El enunciado dice que eliges las respuestas de forma independiente. Acertar o fallar una no cambia el $1/4$ de la siguiente. Tenemos número fijo, éxito o fallo, la misma $p$ e independencia.
4. Con esas cuatro condiciones, escribe $X\sim B(n,p)=B(5,1/4)$. $X$ puede valer desde 0 aciertos hasta 5; todavía no hemos calculado la probabilidad de cada valor.

$X\sim B(5,1/4)$. Puede valer de 0 a 5.

Normal: recuperar la media y la desviación

El valor $z$ dice cuántas desviaciones está una medida por encima o por debajo de la media. Para volver a la medida original, multiplica ese número por el tamaño de una desviación y suma la media: $x=\mu+\sigma z$.

Si conoces dos parejas distintas de $x$ y $z$, cada una describe la misma escala. Resta las dos ecuaciones para que desaparezca la media y calcula primero $\sigma$. Después sustituyes para encontrar $\mu$.

Prueba con un ejemplo pequeño

Una medida 90 tiene $z=-1$ y una medida 120 tiene $z=2$. Calcula la media y la desviación.

1. Escribe $90=\mu-\sigma$ y $120=\mu+2\sigma$.
2. Resta la primera ecuación de la segunda: $120-90=(\mu+2\sigma)-(\mu-\sigma)$. La media se cancela y queda $30=3\sigma$.
3. Divide ambos lados entre 3: $\sigma=10$. Sustituye en $90=\mu-10$ y suma 10 a ambos lados: $\mu=100$.
4. Comprueba $(90-100)/10=-1$ y $(120-100)/10=2$.

$\mu=100$ y $\sigma=10$ en las unidades originales.

Binomial: contar éxitos en un número fijo de intentos

Contestas al azar 5 preguntas con 4 opciones y una correcta. Cada pregunta tiene varias respuestas, pero para contar aciertos solo separas correcta e incorrecta. Puedes acertar 0, 1, 2, 3, 4 o 5.

Usas la binomial si se cumplen cuatro cosas: el número de intentos está fijado, cada uno se clasifica en éxito o fallo, la probabilidad de éxito es siempre la misma y un intento no cambia la de los demás. Aquí, si eliges cada respuesta al azar e independientemente, $p$ es $1/4$ y $n$ es 5.

«Éxito» significa lo que estás contando, no necesariamente algo bueno: puede ser una pieza defectuosa. Si sacas sin devolver, cambian las probabilidades. Si pruebas hasta acertar, no has fijado el número de intentos. Ninguno de esos casos es una binomial exacta.

Prueba con un ejemplo pequeño

Respondes al azar e independientemente cinco preguntas de cuatro opciones, una correcta. Define el número de aciertos.

1. Define $X=$ número de respuestas correctas. Cada pregunta cuenta como éxito si aciertas; las tres opciones incorrectas se reúnen como fallo.
2. Harás las cinco preguntas aunque aciertes antes: $n=5$. Hay una opción correcta de cuatro, elegidas al azar: $p=1/4$. El fallo tiene probabilidad $1-p=1-1/4=3/4$.
3. El enunciado dice que eliges las respuestas de forma independiente. Acertar o fallar una no cambia el $1/4$ de la siguiente. Tenemos número fijo, éxito o fallo, la misma $p$ e independencia.
4. Con esas cuatro condiciones, escribe $X\sim B(n,p)=B(5,1/4)$. $X$ puede valer desde 0 aciertos hasta 5; todavía no hemos calculado la probabilidad de cada valor.

$X\sim B(5,1/4)$. Puede valer de 0 a 5.

Fórmula binomial: contar las formas de colocar los éxitos

En tres intentos, dos éxitos pueden aparecer como éxito-éxito-fallo, éxito-fallo-éxito o fallo-éxito-éxito. Con probabilidad de éxito 0,2, cada secuencia tiene $0{,}2\cdot0{,}2\cdot0{,}8=0{,}032$. Las tres juntas tienen $3\cdot0{,}032=0{,}096$.

Para escribir esa cuenta sin listar todos los órdenes, usamos $p^k$: son $k$ éxitos con probabilidad $p$ cada uno. Los $n-k$ intentos restantes son fallos, cada uno con probabilidad $1-p$; aportan $(1-p)^{n-k}$. Multiplica ambas partes para un orden concreto y luego por $\binom nk$, el número de formas de elegir las posiciones de los éxitos. Esa es la fórmula binomial.

En la calculadora suele llamarse $\operatorname{nCr}$. A mano puedes usar $n!/[k!(n-k)!]$. El signo ! es factorial: $4!=4\cdot3\cdot2\cdot1$ y $0!=1$. Cuenta qué posiciones eliges, sin repetir una elección solo por nombrar sus posiciones en otro orden.

Prueba con un ejemplo pequeño

Si $X\sim B(3,0{,}2)$, calcula $P(X=2)$.

1. $B(3,0{,}2)$ significa $n=3$ intentos y $p=0{,}2$ para éxito en cada uno. «$X=2$» pide exactamente $k=2$ éxitos; quedan $n-k=3-2=1$ fallo, de probabilidad $1-p=0{,}8$.
2. En el orden éxito-éxito-fallo, necesitas las tres cosas: $0{,}2\cdot0{,}2\cdot0{,}8=0{,}032$. Cualquier orden con dos éxitos y un fallo tiene esa misma probabilidad.
3. Sirven éxito-éxito-fallo, éxito-fallo-éxito y fallo-éxito-éxito: tres órdenes. La fórmula los cuenta con $\binom32=3!/(2!1!)=(3\cdot2\cdot1)/[(2\cdot1)\cdot1]=3$.
4. Suma las probabilidades de esos tres órdenes, o multiplica una por tres: $P(X=2)=\binom32\,0{,}2^2\,0{,}8^1=3\cdot0{,}032=0{,}096$.

Probabilidad 0,096, es decir, 9,6 %.

Normal: recuperar la media y la desviación

El valor $z$ dice cuántas desviaciones está una medida por encima o por debajo de la media. Para volver a la medida original, multiplica ese número por el tamaño de una desviación y suma la media: $x=\mu+\sigma z$.

Si conoces dos parejas distintas de $x$ y $z$, cada una describe la misma escala. Resta las dos ecuaciones para que desaparezca la media y calcula primero $\sigma$. Después sustituyes para encontrar $\mu$.

Prueba con un ejemplo pequeño

Una medida 90 tiene $z=-1$ y una medida 120 tiene $z=2$. Calcula la media y la desviación.

1. Escribe $90=\mu-\sigma$ y $120=\mu+2\sigma$.
2. Resta la primera ecuación de la segunda: $120-90=(\mu+2\sigma)-(\mu-\sigma)$. La media se cancela y queda $30=3\sigma$.
3. Divide ambos lados entre 3: $\sigma=10$. Sustituye en $90=\mu-10$ y suma 10 a ambos lados: $\mu=100$.
4. Comprueba $(90-100)/10=-1$ y $(120-100)/10=2$.

$\mu=100$ y $\sigma=10$ en las unidades originales.

Normal: recuperar la media y la desviación

El valor $z$ dice cuántas desviaciones está una medida por encima o por debajo de la media. Para volver a la medida original, multiplica ese número por el tamaño de una desviación y suma la media: $x=\mu+\sigma z$.

Si conoces dos parejas distintas de $x$ y $z$, cada una describe la misma escala. Resta las dos ecuaciones para que desaparezca la media y calcula primero $\sigma$. Después sustituyes para encontrar $\mu$.

Prueba con un ejemplo pequeño

Una medida 90 tiene $z=-1$ y una medida 120 tiene $z=2$. Calcula la media y la desviación.

1. Escribe $90=\mu-\sigma$ y $120=\mu+2\sigma$.
2. Resta la primera ecuación de la segunda: $120-90=(\mu+2\sigma)-(\mu-\sigma)$. La media se cancela y queda $30=3\sigma$.
3. Divide ambos lados entre 3: $\sigma=10$. Sustituye en $90=\mu-10$ y suma 10 a ambos lados: $\mu=100$.
4. Comprueba $(90-100)/10=-1$ y $(120-100)/10=2$.

$\mu=100$ y $\sigma=10$ en las unidades originales.

Normal: recuperar la media y la desviación

El valor $z$ dice cuántas desviaciones está una medida por encima o por debajo de la media. Para volver a la medida original, multiplica ese número por el tamaño de una desviación y suma la media: $x=\mu+\sigma z$.

Si conoces dos parejas distintas de $x$ y $z$, cada una describe la misma escala. Resta las dos ecuaciones para que desaparezca la media y calcula primero $\sigma$. Después sustituyes para encontrar $\mu$.

Prueba con un ejemplo pequeño

Una medida 90 tiene $z=-1$ y una medida 120 tiene $z=2$. Calcula la media y la desviación.

1. Escribe $90=\mu-\sigma$ y $120=\mu+2\sigma$.
2. Resta la primera ecuación de la segunda: $120-90=(\mu+2\sigma)-(\mu-\sigma)$. La media se cancela y queda $30=3\sigma$.
3. Divide ambos lados entre 3: $\sigma=10$. Sustituye en $90=\mu-10$ y suma 10 a ambos lados: $\mu=100$.
4. Comprueba $(90-100)/10=-1$ y $(120-100)/10=2$.

$\mu=100$ y $\sigma=10$ en las unidades originales.

Binomial: contar éxitos en un número fijo de intentos

Contestas al azar 5 preguntas con 4 opciones y una correcta. Cada pregunta tiene varias respuestas, pero para contar aciertos solo separas correcta e incorrecta. Puedes acertar 0, 1, 2, 3, 4 o 5.

Usas la binomial si se cumplen cuatro cosas: el número de intentos está fijado, cada uno se clasifica en éxito o fallo, la probabilidad de éxito es siempre la misma y un intento no cambia la de los demás. Aquí, si eliges cada respuesta al azar e independientemente, $p$ es $1/4$ y $n$ es 5.

«Éxito» significa lo que estás contando, no necesariamente algo bueno: puede ser una pieza defectuosa. Si sacas sin devolver, cambian las probabilidades. Si pruebas hasta acertar, no has fijado el número de intentos. Ninguno de esos casos es una binomial exacta.

Prueba con un ejemplo pequeño

Respondes al azar e independientemente cinco preguntas de cuatro opciones, una correcta. Define el número de aciertos.

1. Define $X=$ número de respuestas correctas. Cada pregunta cuenta como éxito si aciertas; las tres opciones incorrectas se reúnen como fallo.
2. Harás las cinco preguntas aunque aciertes antes: $n=5$. Hay una opción correcta de cuatro, elegidas al azar: $p=1/4$. El fallo tiene probabilidad $1-p=1-1/4=3/4$.
3. El enunciado dice que eliges las respuestas de forma independiente. Acertar o fallar una no cambia el $1/4$ de la siguiente. Tenemos número fijo, éxito o fallo, la misma $p$ e independencia.
4. Con esas cuatro condiciones, escribe $X\sim B(n,p)=B(5,1/4)$. $X$ puede valer desde 0 aciertos hasta 5; todavía no hemos calculado la probabilidad de cada valor.

$X\sim B(5,1/4)$. Puede valer de 0 a 5.

Fórmula binomial: contar las formas de colocar los éxitos

En tres intentos, dos éxitos pueden aparecer como éxito-éxito-fallo, éxito-fallo-éxito o fallo-éxito-éxito. Con probabilidad de éxito 0,2, cada secuencia tiene $0{,}2\cdot0{,}2\cdot0{,}8=0{,}032$. Las tres juntas tienen $3\cdot0{,}032=0{,}096$.

Para escribir esa cuenta sin listar todos los órdenes, usamos $p^k$: son $k$ éxitos con probabilidad $p$ cada uno. Los $n-k$ intentos restantes son fallos, cada uno con probabilidad $1-p$; aportan $(1-p)^{n-k}$. Multiplica ambas partes para un orden concreto y luego por $\binom nk$, el número de formas de elegir las posiciones de los éxitos. Esa es la fórmula binomial.

En la calculadora suele llamarse $\operatorname{nCr}$. A mano puedes usar $n!/[k!(n-k)!]$. El signo ! es factorial: $4!=4\cdot3\cdot2\cdot1$ y $0!=1$. Cuenta qué posiciones eliges, sin repetir una elección solo por nombrar sus posiciones en otro orden.

Prueba con un ejemplo pequeño

Si $X\sim B(3,0{,}2)$, calcula $P(X=2)$.

1. $B(3,0{,}2)$ significa $n=3$ intentos y $p=0{,}2$ para éxito en cada uno. «$X=2$» pide exactamente $k=2$ éxitos; quedan $n-k=3-2=1$ fallo, de probabilidad $1-p=0{,}8$.
2. En el orden éxito-éxito-fallo, necesitas las tres cosas: $0{,}2\cdot0{,}2\cdot0{,}8=0{,}032$. Cualquier orden con dos éxitos y un fallo tiene esa misma probabilidad.
3. Sirven éxito-éxito-fallo, éxito-fallo-éxito y fallo-éxito-éxito: tres órdenes. La fórmula los cuenta con $\binom32=3!/(2!1!)=(3\cdot2\cdot1)/[(2\cdot1)\cdot1]=3$.
4. Suma las probabilidades de esos tres órdenes, o multiplica una por tres: $P(X=2)=\binom32\,0{,}2^2\,0{,}8^1=3\cdot0{,}032=0{,}096$.

Probabilidad 0,096, es decir, 9,6 %.

Normal: recuperar la media y la desviación

El valor $z$ dice cuántas desviaciones está una medida por encima o por debajo de la media. Para volver a la medida original, multiplica ese número por el tamaño de una desviación y suma la media: $x=\mu+\sigma z$.

Si conoces dos parejas distintas de $x$ y $z$, cada una describe la misma escala. Resta las dos ecuaciones para que desaparezca la media y calcula primero $\sigma$. Después sustituyes para encontrar $\mu$.

Prueba con un ejemplo pequeño

Una medida 90 tiene $z=-1$ y una medida 120 tiene $z=2$. Calcula la media y la desviación.

1. Escribe $90=\mu-\sigma$ y $120=\mu+2\sigma$.
2. Resta la primera ecuación de la segunda: $120-90=(\mu+2\sigma)-(\mu-\sigma)$. La media se cancela y queda $30=3\sigma$.
3. Divide ambos lados entre 3: $\sigma=10$. Sustituye en $90=\mu-10$ y suma 10 a ambos lados: $\mu=100$.
4. Comprueba $(90-100)/10=-1$ y $(120-100)/10=2$.

$\mu=100$ y $\sigma=10$ en las unidades originales.

Media y desviación: el promedio y la separación

Un premio da 0 o 4 puntos, cada uno con probabilidad 1/2. Si se repite muchas veces, esperas aproximadamente tantos ceros como cuatros: el promedio se acerca a 2. Esa media no es un premio posible; en un intento solo recibes 0 o 4.

Los dos premios están a distancia 2 de la media. Para medir la separación sin que −2 y +2 se anulen al sumar, elevamos cada diferencia al cuadrado. Su promedio es 4: eso es la varianza.

La raíz de 4 vuelve a expresar la separación en puntos: 2. Es la desviación típica. Se escribe $\sigma$, y la media, $\mu$. La varianza es $\sigma^2$. En una binomial puedes calcular directamente $\mu=np$ y $\sigma^2=np(1-p)$; después toma la raíz para obtener la desviación.

Prueba con un ejemplo pequeño

$X$ vale 0 o 4 puntos, cada uno con probabilidad 1/2. Calcula la media y la desviación típica.

1. Para la media, cada premio cuenta con la frecuencia que representa su probabilidad: $\mu=0\cdot(1/2)+4\cdot(1/2)=0+2=2$ puntos. No es un premio nuevo: resume el promedio de muchos intentos.
2. Ahora mide las separaciones con esa media: $0-2=-2$ y $4-2=2$. Si las sumaras, se anularían, aunque ambos premios se separan de 2.
3. Eleva cada separación al cuadrado, multiplícala por su probabilidad y suma: $\sigma^2=(-2)^2(1/2)+2^2(1/2)=4(1/2)+4(1/2)=2+2=4$ puntos². Ya es un promedio: las probabilidades suman 1.
4. La desviación vuelve a las unidades de los premios: $\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt4=2$ puntos.

Media 2 puntos, varianza 4 puntos² y desviación típica 2 puntos.

Ver un uso cotidiano: Leer la edad media de dos grupos