Muestreo e inferencia

Elegir personas sin excluir grupos desde el principio

La muestra pretende informar sobre una población concreta. Una encuesta abierta entre seguidores de una red social puede dejar fuera a quienes no usan esa red y atraer más a quienes tienen una opinión fuerte. Una gran cantidad de respuestas no elimina automáticamente ese sesgo de selección.

En un muestreo aleatorio simple se selecciona al azar desde un listado que cubre la población. Todos los integrantes tienen oportunidad de selección; en el modelo habitual, las muestras posibles del mismo tamaño tienen igual probabilidad. También se revisa quién no responde: la falta de respuesta puede introducir sesgo después del sorteo.

En un muestreo sistemático se escoge un inicio al azar y después una persona cada cierto número de posiciones del listado. Por ejemplo, de un listado de 1000 personas queremos 100: el salto es 10. Sorteamos un inicio del 1 al 10 y seguimos con ese salto. Un patrón periódico del listado puede sesgar la selección.

En un muestreo estratificado separas grupos de la población y seleccionas al azar dentro de cada uno. Con afijación proporcional, si un grupo tiene $N_i$ personas de un total $N$, recibe $n_i=nN_i/N$ observaciones de una muestra de tamaño $n$. Conserva el peso del grupo.

En un muestreo por conglomerados se sortean grupos naturales, como centros o clases, y se estudian sus integrantes según el diseño. No equivale a asegurar una cuota de cada tipo de persona. Las fórmulas sencillas de este repaso usan el muestreo aleatorio simple e independencia que indican las orientaciones verificadas; no se trasladan a cualquier diseño sin revisar sus supuestos.

Prueba con un ejemplo pequeño

Una población tiene 1000 personas: 400 pertenecen a un grupo y 600 al otro. Se eligen 100 con afijación proporcional. ¿Cuántas corresponden a cada grupo?

1. La fracción del primer grupo es $400/1000=0{,}4$. Se mantiene la misma fracción en la muestra: $n_1/100=400/1000$.
2. Multiplica por 100: $n_1=100\cdot400/1000=40$. Para el segundo grupo, $n_2=100\cdot600/1000=60$.
3. Comprueba el total: $40+60=100$. Las personas se seleccionan aleatoriamente dentro de cada grupo.

Se seleccionan 40 del primer grupo y 60 del segundo.

Elegir personas sin excluir grupos desde el principio

La muestra pretende informar sobre una población concreta. Una encuesta abierta entre seguidores de una red social puede dejar fuera a quienes no usan esa red y atraer más a quienes tienen una opinión fuerte. Una gran cantidad de respuestas no elimina automáticamente ese sesgo de selección.

En un muestreo aleatorio simple se selecciona al azar desde un listado que cubre la población. Todos los integrantes tienen oportunidad de selección; en el modelo habitual, las muestras posibles del mismo tamaño tienen igual probabilidad. También se revisa quién no responde: la falta de respuesta puede introducir sesgo después del sorteo.

En un muestreo sistemático se escoge un inicio al azar y después una persona cada cierto número de posiciones del listado. Por ejemplo, de un listado de 1000 personas queremos 100: el salto es 10. Sorteamos un inicio del 1 al 10 y seguimos con ese salto. Un patrón periódico del listado puede sesgar la selección.

En un muestreo estratificado separas grupos de la población y seleccionas al azar dentro de cada uno. Con afijación proporcional, si un grupo tiene $N_i$ personas de un total $N$, recibe $n_i=nN_i/N$ observaciones de una muestra de tamaño $n$. Conserva el peso del grupo.

En un muestreo por conglomerados se sortean grupos naturales, como centros o clases, y se estudian sus integrantes según el diseño. No equivale a asegurar una cuota de cada tipo de persona. Las fórmulas sencillas de este repaso usan el muestreo aleatorio simple e independencia que indican las orientaciones verificadas; no se trasladan a cualquier diseño sin revisar sus supuestos.

Prueba con un ejemplo pequeño

Una población tiene 1000 personas: 400 pertenecen a un grupo y 600 al otro. Se eligen 100 con afijación proporcional. ¿Cuántas corresponden a cada grupo?

1. La fracción del primer grupo es $400/1000=0{,}4$. Se mantiene la misma fracción en la muestra: $n_1/100=400/1000$.
2. Multiplica por 100: $n_1=100\cdot400/1000=40$. Para el segundo grupo, $n_2=100\cdot600/1000=60$.
3. Comprueba el total: $40+60=100$. Las personas se seleccionan aleatoriamente dentro de cada grupo.

Se seleccionan 40 del primer grupo y 60 del segundo.

Elegir personas sin excluir grupos desde el principio

La muestra pretende informar sobre una población concreta. Una encuesta abierta entre seguidores de una red social puede dejar fuera a quienes no usan esa red y atraer más a quienes tienen una opinión fuerte. Una gran cantidad de respuestas no elimina automáticamente ese sesgo de selección.

En un muestreo aleatorio simple se selecciona al azar desde un listado que cubre la población. Todos los integrantes tienen oportunidad de selección; en el modelo habitual, las muestras posibles del mismo tamaño tienen igual probabilidad. También se revisa quién no responde: la falta de respuesta puede introducir sesgo después del sorteo.

En un muestreo sistemático se escoge un inicio al azar y después una persona cada cierto número de posiciones del listado. Por ejemplo, de un listado de 1000 personas queremos 100: el salto es 10. Sorteamos un inicio del 1 al 10 y seguimos con ese salto. Un patrón periódico del listado puede sesgar la selección.

En un muestreo estratificado separas grupos de la población y seleccionas al azar dentro de cada uno. Con afijación proporcional, si un grupo tiene $N_i$ personas de un total $N$, recibe $n_i=nN_i/N$ observaciones de una muestra de tamaño $n$. Conserva el peso del grupo.

En un muestreo por conglomerados se sortean grupos naturales, como centros o clases, y se estudian sus integrantes según el diseño. No equivale a asegurar una cuota de cada tipo de persona. Las fórmulas sencillas de este repaso usan el muestreo aleatorio simple e independencia que indican las orientaciones verificadas; no se trasladan a cualquier diseño sin revisar sus supuestos.

Prueba con un ejemplo pequeño

Una población tiene 1000 personas: 400 pertenecen a un grupo y 600 al otro. Se eligen 100 con afijación proporcional. ¿Cuántas corresponden a cada grupo?

1. La fracción del primer grupo es $400/1000=0{,}4$. Se mantiene la misma fracción en la muestra: $n_1/100=400/1000$.
2. Multiplica por 100: $n_1=100\cdot400/1000=40$. Para el segundo grupo, $n_2=100\cdot600/1000=60$.
3. Comprueba el total: $40+60=100$. Las personas se seleccionan aleatoriamente dentro de cada grupo.

Se seleccionan 40 del primer grupo y 60 del segundo.

Elegir personas sin excluir grupos desde el principio

La muestra pretende informar sobre una población concreta. Una encuesta abierta entre seguidores de una red social puede dejar fuera a quienes no usan esa red y atraer más a quienes tienen una opinión fuerte. Una gran cantidad de respuestas no elimina automáticamente ese sesgo de selección.

En un muestreo aleatorio simple se selecciona al azar desde un listado que cubre la población. Todos los integrantes tienen oportunidad de selección; en el modelo habitual, las muestras posibles del mismo tamaño tienen igual probabilidad. También se revisa quién no responde: la falta de respuesta puede introducir sesgo después del sorteo.

En un muestreo sistemático se escoge un inicio al azar y después una persona cada cierto número de posiciones del listado. Por ejemplo, de un listado de 1000 personas queremos 100: el salto es 10. Sorteamos un inicio del 1 al 10 y seguimos con ese salto. Un patrón periódico del listado puede sesgar la selección.

En un muestreo estratificado separas grupos de la población y seleccionas al azar dentro de cada uno. Con afijación proporcional, si un grupo tiene $N_i$ personas de un total $N$, recibe $n_i=nN_i/N$ observaciones de una muestra de tamaño $n$. Conserva el peso del grupo.

En un muestreo por conglomerados se sortean grupos naturales, como centros o clases, y se estudian sus integrantes según el diseño. No equivale a asegurar una cuota de cada tipo de persona. Las fórmulas sencillas de este repaso usan el muestreo aleatorio simple e independencia que indican las orientaciones verificadas; no se trasladan a cualquier diseño sin revisar sus supuestos.

Prueba con un ejemplo pequeño

Una población tiene 1000 personas: 400 pertenecen a un grupo y 600 al otro. Se eligen 100 con afijación proporcional. ¿Cuántas corresponden a cada grupo?

1. La fracción del primer grupo es $400/1000=0{,}4$. Se mantiene la misma fracción en la muestra: $n_1/100=400/1000$.
2. Multiplica por 100: $n_1=100\cdot400/1000=40$. Para el segundo grupo, $n_2=100\cdot600/1000=60$.
3. Comprueba el total: $40+60=100$. Las personas se seleccionan aleatoriamente dentro de cada grupo.

Se seleccionan 40 del primer grupo y 60 del segundo.

Elegir el menor tamaño que cumple el error máximo

Ahora no conocemos todavía los datos de una muestra: queremos decidir cuántas observaciones recoger. El enunciado fija una confianza y un error máximo $E$. Un tamaño válido debe hacer que el margen de la fórmula no supere ese límite.

Para una media con desviación conocida, exige $z\sigma/\sqrt n\le E$. Como las cantidades son positivas, puedes multiplicar por $\sqrt n$ y dividir por $E$: $\sqrt n\ge z\sigma/E$. Eleva al cuadrado y queda $n\ge(z\sigma/E)^2$.

Para una proporción se planifica con una previsión $p_0$: $z\sqrt{p_0(1-p_0)/n}\le E$ da $n\ge z^2p_0(1-p_0)/E^2$. Si no hay previsión, usa $p_0=0{,}5$: el producto $p_0(1-p_0)$ alcanza su máximo $0{,}25$ y exige el mayor tamaño. Si se da una previsión, el tamaño calculado se refiere a ella.

El tamaño es un entero. Si la cota es $384{,}16$, 384 no la cumple; el mínimo es 385. Si la cota fuera exactamente 400, el mínimo sería 400: «por exceso» no significa sumar siempre una persona. Comprueba el margen con el tamaño elegido y con el anterior.

Prueba con un ejemplo pequeño

Sin datos previos, planifica una muestra para una proporción con error máximo de 5 puntos porcentuales y confianza del 95%, usando 1,96.

1. El error permitido es $E=0{,}05$ y el valor crítico $z=1{,}96$. Sin datos previos toma $p_0=0{,}5$.
2. La cota es $n\ge1{,}96^2\cdot0{,}5\cdot0{,}5/0{,}05^2=384{,}16$.
3. El menor entero que la cumple es 385. Su margen es $1{,}96\sqrt{0{,}25/385}\approx0{,}04995\le0{,}05$.
4. Con 384, el margen sería aproximadamente $0{,}05001>0{,}05$, por lo que una persona menos ya incumple la cota del modelo.

El tamaño conservador mínimo es 385 respuestas válidas bajo el modelo normal aproximado.

Ver un uso cotidiano: Planificar una encuesta

Elegir personas sin excluir grupos desde el principio

La muestra pretende informar sobre una población concreta. Una encuesta abierta entre seguidores de una red social puede dejar fuera a quienes no usan esa red y atraer más a quienes tienen una opinión fuerte. Una gran cantidad de respuestas no elimina automáticamente ese sesgo de selección.

En un muestreo aleatorio simple se selecciona al azar desde un listado que cubre la población. Todos los integrantes tienen oportunidad de selección; en el modelo habitual, las muestras posibles del mismo tamaño tienen igual probabilidad. También se revisa quién no responde: la falta de respuesta puede introducir sesgo después del sorteo.

En un muestreo sistemático se escoge un inicio al azar y después una persona cada cierto número de posiciones del listado. Por ejemplo, de un listado de 1000 personas queremos 100: el salto es 10. Sorteamos un inicio del 1 al 10 y seguimos con ese salto. Un patrón periódico del listado puede sesgar la selección.

En un muestreo estratificado separas grupos de la población y seleccionas al azar dentro de cada uno. Con afijación proporcional, si un grupo tiene $N_i$ personas de un total $N$, recibe $n_i=nN_i/N$ observaciones de una muestra de tamaño $n$. Conserva el peso del grupo.

En un muestreo por conglomerados se sortean grupos naturales, como centros o clases, y se estudian sus integrantes según el diseño. No equivale a asegurar una cuota de cada tipo de persona. Las fórmulas sencillas de este repaso usan el muestreo aleatorio simple e independencia que indican las orientaciones verificadas; no se trasladan a cualquier diseño sin revisar sus supuestos.

Prueba con un ejemplo pequeño

Una población tiene 1000 personas: 400 pertenecen a un grupo y 600 al otro. Se eligen 100 con afijación proporcional. ¿Cuántas corresponden a cada grupo?

1. La fracción del primer grupo es $400/1000=0{,}4$. Se mantiene la misma fracción en la muestra: $n_1/100=400/1000$.
2. Multiplica por 100: $n_1=100\cdot400/1000=40$. Para el segundo grupo, $n_2=100\cdot600/1000=60$.
3. Comprueba el total: $40+60=100$. Las personas se seleccionan aleatoriamente dentro de cada grupo.

Se seleccionan 40 del primer grupo y 60 del segundo.

Elegir personas sin excluir grupos desde el principio

La muestra pretende informar sobre una población concreta. Una encuesta abierta entre seguidores de una red social puede dejar fuera a quienes no usan esa red y atraer más a quienes tienen una opinión fuerte. Una gran cantidad de respuestas no elimina automáticamente ese sesgo de selección.

En un muestreo aleatorio simple se selecciona al azar desde un listado que cubre la población. Todos los integrantes tienen oportunidad de selección; en el modelo habitual, las muestras posibles del mismo tamaño tienen igual probabilidad. También se revisa quién no responde: la falta de respuesta puede introducir sesgo después del sorteo.

En un muestreo sistemático se escoge un inicio al azar y después una persona cada cierto número de posiciones del listado. Por ejemplo, de un listado de 1000 personas queremos 100: el salto es 10. Sorteamos un inicio del 1 al 10 y seguimos con ese salto. Un patrón periódico del listado puede sesgar la selección.

En un muestreo estratificado separas grupos de la población y seleccionas al azar dentro de cada uno. Con afijación proporcional, si un grupo tiene $N_i$ personas de un total $N$, recibe $n_i=nN_i/N$ observaciones de una muestra de tamaño $n$. Conserva el peso del grupo.

En un muestreo por conglomerados se sortean grupos naturales, como centros o clases, y se estudian sus integrantes según el diseño. No equivale a asegurar una cuota de cada tipo de persona. Las fórmulas sencillas de este repaso usan el muestreo aleatorio simple e independencia que indican las orientaciones verificadas; no se trasladan a cualquier diseño sin revisar sus supuestos.

Prueba con un ejemplo pequeño

Una población tiene 1000 personas: 400 pertenecen a un grupo y 600 al otro. Se eligen 100 con afijación proporcional. ¿Cuántas corresponden a cada grupo?

1. La fracción del primer grupo es $400/1000=0{,}4$. Se mantiene la misma fracción en la muestra: $n_1/100=400/1000$.
2. Multiplica por 100: $n_1=100\cdot400/1000=40$. Para el segundo grupo, $n_2=100\cdot600/1000=60$.
3. Comprueba el total: $40+60=100$. Las personas se seleccionan aleatoriamente dentro de cada grupo.

Se seleccionan 40 del primer grupo y 60 del segundo.

Elegir personas sin excluir grupos desde el principio

La muestra pretende informar sobre una población concreta. Una encuesta abierta entre seguidores de una red social puede dejar fuera a quienes no usan esa red y atraer más a quienes tienen una opinión fuerte. Una gran cantidad de respuestas no elimina automáticamente ese sesgo de selección.

En un muestreo aleatorio simple se selecciona al azar desde un listado que cubre la población. Todos los integrantes tienen oportunidad de selección; en el modelo habitual, las muestras posibles del mismo tamaño tienen igual probabilidad. También se revisa quién no responde: la falta de respuesta puede introducir sesgo después del sorteo.

En un muestreo sistemático se escoge un inicio al azar y después una persona cada cierto número de posiciones del listado. Por ejemplo, de un listado de 1000 personas queremos 100: el salto es 10. Sorteamos un inicio del 1 al 10 y seguimos con ese salto. Un patrón periódico del listado puede sesgar la selección.

En un muestreo estratificado separas grupos de la población y seleccionas al azar dentro de cada uno. Con afijación proporcional, si un grupo tiene $N_i$ personas de un total $N$, recibe $n_i=nN_i/N$ observaciones de una muestra de tamaño $n$. Conserva el peso del grupo.

En un muestreo por conglomerados se sortean grupos naturales, como centros o clases, y se estudian sus integrantes según el diseño. No equivale a asegurar una cuota de cada tipo de persona. Las fórmulas sencillas de este repaso usan el muestreo aleatorio simple e independencia que indican las orientaciones verificadas; no se trasladan a cualquier diseño sin revisar sus supuestos.

Prueba con un ejemplo pequeño

Una población tiene 1000 personas: 400 pertenecen a un grupo y 600 al otro. Se eligen 100 con afijación proporcional. ¿Cuántas corresponden a cada grupo?

1. La fracción del primer grupo es $400/1000=0{,}4$. Se mantiene la misma fracción en la muestra: $n_1/100=400/1000$.
2. Multiplica por 100: $n_1=100\cdot400/1000=40$. Para el segundo grupo, $n_2=100\cdot600/1000=60$.
3. Comprueba el total: $40+60=100$. Las personas se seleccionan aleatoriamente dentro de cada grupo.

Se seleccionan 40 del primer grupo y 60 del segundo.

Elegir el menor tamaño que cumple el error máximo

Ahora no conocemos todavía los datos de una muestra: queremos decidir cuántas observaciones recoger. El enunciado fija una confianza y un error máximo $E$. Un tamaño válido debe hacer que el margen de la fórmula no supere ese límite.

Para una media con desviación conocida, exige $z\sigma/\sqrt n\le E$. Como las cantidades son positivas, puedes multiplicar por $\sqrt n$ y dividir por $E$: $\sqrt n\ge z\sigma/E$. Eleva al cuadrado y queda $n\ge(z\sigma/E)^2$.

Para una proporción se planifica con una previsión $p_0$: $z\sqrt{p_0(1-p_0)/n}\le E$ da $n\ge z^2p_0(1-p_0)/E^2$. Si no hay previsión, usa $p_0=0{,}5$: el producto $p_0(1-p_0)$ alcanza su máximo $0{,}25$ y exige el mayor tamaño. Si se da una previsión, el tamaño calculado se refiere a ella.

El tamaño es un entero. Si la cota es $384{,}16$, 384 no la cumple; el mínimo es 385. Si la cota fuera exactamente 400, el mínimo sería 400: «por exceso» no significa sumar siempre una persona. Comprueba el margen con el tamaño elegido y con el anterior.

Prueba con un ejemplo pequeño

Sin datos previos, planifica una muestra para una proporción con error máximo de 5 puntos porcentuales y confianza del 95%, usando 1,96.

1. El error permitido es $E=0{,}05$ y el valor crítico $z=1{,}96$. Sin datos previos toma $p_0=0{,}5$.
2. La cota es $n\ge1{,}96^2\cdot0{,}5\cdot0{,}5/0{,}05^2=384{,}16$.
3. El menor entero que la cumple es 385. Su margen es $1{,}96\sqrt{0{,}25/385}\approx0{,}04995\le0{,}05$.
4. Con 384, el margen sería aproximadamente $0{,}05001>0{,}05$, por lo que una persona menos ya incumple la cota del modelo.

El tamaño conservador mínimo es 385 respuestas válidas bajo el modelo normal aproximado.

Ver un uso cotidiano: Planificar una encuesta

La media de muchos tiene menos dispersión que un individuo

Una medida individual es una variable $X$: por ejemplo, el tiempo de un trayecto. Su media poblacional es $\mu$ y su desviación típica es $\sigma$. La media de una muestra de $n$ observaciones independientes es otra variable: $\overline X=(X_1+\cdots+X_n)/n$. Cambia de una muestra a otra.

La media de $\overline X$ sigue siendo $\mu$: promediar no desplaza el centro. Su dispersión disminuye porque unas observaciones por encima de la media pueden compensar otras por debajo. Para obtener la escala exacta, se suman las varianzas de observaciones independientes y se aplica la división por $n$.

La suma tiene varianza $n\sigma^2$. Al dividirla por $n$, la varianza se divide por $n^2$: $\operatorname{Var}(\overline X)=n\sigma^2/n^2=\sigma^2/n$. La desviación es la raíz de la varianza: $\sigma_{\overline X}=\sigma/\sqrt n$. Esta desviación de una estimación se llama error estándar.

Si la población es normal, la media muestral es normal para cualquier tamaño. Si la población no se sabe normal, una muestra suficientemente grande permite aproximar bajo las condiciones del modelo. Las orientaciones verificadas consideran grandes las muestras con $n\ge30$. La independencia sigue siendo necesaria.

Prueba con un ejemplo pequeño

Una población normal tiene media 20 minutos y desviación de 5 minutos. Se promedian 100 trayectos independientes. ¿Cuál es la desviación de la media y cómo tipificas 21 minutos?

1. Para un individuo, $\sigma=5$. Para el promedio de $n=100$, el error estándar es $5/\sqrt{100}=0{,}5$ minutos. La media de los promedios sigue siendo $\mu=20$.
2. Tipifica la media de 21: $z=(21-20)/0{,}5=2$. Está dos errores estándar por encima del centro.
3. Usar $(21-20)/5=0{,}2$ respondería sobre un trayecto individual, no sobre la media de los 100.

La media muestral tiene desviación $0{,}5$ minutos; el valor 21 se tipifica como $z=2$.

La media de muchos tiene menos dispersión que un individuo

Una medida individual es una variable $X$: por ejemplo, el tiempo de un trayecto. Su media poblacional es $\mu$ y su desviación típica es $\sigma$. La media de una muestra de $n$ observaciones independientes es otra variable: $\overline X=(X_1+\cdots+X_n)/n$. Cambia de una muestra a otra.

La media de $\overline X$ sigue siendo $\mu$: promediar no desplaza el centro. Su dispersión disminuye porque unas observaciones por encima de la media pueden compensar otras por debajo. Para obtener la escala exacta, se suman las varianzas de observaciones independientes y se aplica la división por $n$.

La suma tiene varianza $n\sigma^2$. Al dividirla por $n$, la varianza se divide por $n^2$: $\operatorname{Var}(\overline X)=n\sigma^2/n^2=\sigma^2/n$. La desviación es la raíz de la varianza: $\sigma_{\overline X}=\sigma/\sqrt n$. Esta desviación de una estimación se llama error estándar.

Si la población es normal, la media muestral es normal para cualquier tamaño. Si la población no se sabe normal, una muestra suficientemente grande permite aproximar bajo las condiciones del modelo. Las orientaciones verificadas consideran grandes las muestras con $n\ge30$. La independencia sigue siendo necesaria.

Prueba con un ejemplo pequeño

Una población normal tiene media 20 minutos y desviación de 5 minutos. Se promedian 100 trayectos independientes. ¿Cuál es la desviación de la media y cómo tipificas 21 minutos?

1. Para un individuo, $\sigma=5$. Para el promedio de $n=100$, el error estándar es $5/\sqrt{100}=0{,}5$ minutos. La media de los promedios sigue siendo $\mu=20$.
2. Tipifica la media de 21: $z=(21-20)/0{,}5=2$. Está dos errores estándar por encima del centro.
3. Usar $(21-20)/5=0{,}2$ respondería sobre un trayecto individual, no sobre la media de los 100.

La media muestral tiene desviación $0{,}5$ minutos; el valor 21 se tipifica como $z=2$.

La media de muchos tiene menos dispersión que un individuo

Una medida individual es una variable $X$: por ejemplo, el tiempo de un trayecto. Su media poblacional es $\mu$ y su desviación típica es $\sigma$. La media de una muestra de $n$ observaciones independientes es otra variable: $\overline X=(X_1+\cdots+X_n)/n$. Cambia de una muestra a otra.

La media de $\overline X$ sigue siendo $\mu$: promediar no desplaza el centro. Su dispersión disminuye porque unas observaciones por encima de la media pueden compensar otras por debajo. Para obtener la escala exacta, se suman las varianzas de observaciones independientes y se aplica la división por $n$.

La suma tiene varianza $n\sigma^2$. Al dividirla por $n$, la varianza se divide por $n^2$: $\operatorname{Var}(\overline X)=n\sigma^2/n^2=\sigma^2/n$. La desviación es la raíz de la varianza: $\sigma_{\overline X}=\sigma/\sqrt n$. Esta desviación de una estimación se llama error estándar.

Si la población es normal, la media muestral es normal para cualquier tamaño. Si la población no se sabe normal, una muestra suficientemente grande permite aproximar bajo las condiciones del modelo. Las orientaciones verificadas consideran grandes las muestras con $n\ge30$. La independencia sigue siendo necesaria.

Prueba con un ejemplo pequeño

Una población normal tiene media 20 minutos y desviación de 5 minutos. Se promedian 100 trayectos independientes. ¿Cuál es la desviación de la media y cómo tipificas 21 minutos?

1. Para un individuo, $\sigma=5$. Para el promedio de $n=100$, el error estándar es $5/\sqrt{100}=0{,}5$ minutos. La media de los promedios sigue siendo $\mu=20$.
2. Tipifica la media de 21: $z=(21-20)/0{,}5=2$. Está dos errores estándar por encima del centro.
3. Usar $(21-20)/5=0{,}2$ respondería sobre un trayecto individual, no sobre la media de los 100.

La media muestral tiene desviación $0{,}5$ minutos; el valor 21 se tipifica como $z=2$.