Integrales y áreas: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

EJEMPLO RESUELTO

Integrar potencias

Elige una primitiva de f.

f(x)=2x^{4}

Cómo pensar el primer paso

Primitiva: encontrar la función que tenía esa derivada

Qué buscar en la pregunta: Te piden una primitiva, una integral sin números de inicio y final, o una función cuya derivada conoces.

La pregunta da una derivada y pide la función anterior. Busca una primitiva; si además da $F(a)$ , usa ese dato para calcular la constante.

Ver un ejemplo pequeño de esta idea

Integrales inmediatas: reconocer una derivada conocida

Qué buscar en la pregunta: La integral suma potencias sencillas, constantes, $1/x$ , $e^x$ , seno o coseno.

Te piden una primitiva de toda la expresión. Separa la suma y busca una función que, al derivarla, devuelva cada término con su mismo multiplicador.

Ver un ejemplo pequeño de esta idea

Saca la constante 2 y aplica la regla de potencias con $n$ =4.
Necesito entender este paso
Integrales inmediatas: reconocer una derivada conocida
Quieres integrar $x^2$ . Probar $x^3$ da demasiado al derivar: $3x^2$ . Divide entre 3 y prueba otra vez: la derivada de $x^3/3$ es exactamente $x^2$ .
La derivada de $x^{n+1}$ es $(n+1)x^n$ . Si divides esa función entre $n+1$ , al derivar el multiplicador se divide por el mismo número y queda $x^n$ . De ahí sale la regla: aumentar el exponente y dividir entre él. Solo puedes hacerlo si $n+1\ne0$ .
Con $1/x=x^{-1}$ no hagas esa receta: te llevaría a dividir entre 0. Su primitiva es $\ln|x|$ en un tramo que no cruce 0. Las barras vuelven positivo el número para el logaritmo. Para $e^x$ , una primitiva es $e^x$ . Para $\cos x$ , es $\sin x$ ; para $\sin x$ , es $-\cos x$ : en cada caso, derivar la respuesta recupera lo que querías integrar.
Prueba con un ejemplo pequeño
Calcula $\int(3x^2-2/x)\,dx$ donde $x\ne0$ .
1. La integral es una resta de términos. Escríbela como $\int3x^2\,dx-2\int(1/x)\,dx$ para trabajar cada parte por separado.
2. La primera primitiva es $x^3$ : su derivada es $3x^2$ , exactamente lo que pide el primer término.
3. La segunda integral usa la regla de $1/x$ : su primitiva es $\ln|x|$ . Conserva el −2 que la multiplica: $-2\ln|x|$ .
4. Reúne los términos: $x^3-2\ln|x|+C$ . Las constantes de ambas partes se pueden reunir en una sola $C$ .
$x^3-2\ln|x|+C$ .
Repasar esta idea y sus símbolos
El exponente sube a 5; la constante se divide por 5, no se multiplica.
Necesito entender este paso
Primitiva: encontrar la función que tenía esa derivada
Si te dan la derivada $2x$ , una respuesta es $x^2$ . También sirve $x^2+7$ , porque al derivar el 7 desaparece. Sumar una cantidad fija cambia la altura de la curva, pero no cuánto cambia entre puntos.
Una función que pasa esa comprobación se llama primitiva. Sin otro dato, hay muchas: $x^2+C$ , donde $C$ puede ser cualquier constante. Si te dicen que la función vale 4 cuando $x$ vale 1, ese dato permite elegir $C$ .
El símbolo $\int$ pide encontrar primitivas. En $\int2x\,dx$ , las letras $dx$ indican que integras respecto de $x$ . Comprueba tu respuesta derivándola: si vuelve a dar $2x$ , has encontrado una primitiva.
Prueba con un ejemplo pequeño
Busca $F$ con derivada $2x$ y que cumpla $F(1)=4$ .
1. Buscamos $F$ , no otra derivada de $2x$ . Como la derivada de $x^2$ es $2x$ , escribe $F(x)=x^2+C$ .
2. El segundo dato fija una altura: $F(1)=4$ . Sustituye 1 en la función que acabas de escribir: $1^2+C=4$ , es decir, $1+C=4$ .
3. Queremos dejar $C$ sola en $1+C=4$ . Resta 1 en ambos lados: $1+C-1=4-1$ , y queda $C=3$ . Reemplaza la constante en la función: $F(x)=x^2+3$ .
4. Comprueba ambos datos: al derivar obtienes $2x$ ; al poner 1 obtienes $1+3=4$ .
$F(x)=x^2+3$ . Sin el dato del punto, escribirías $x^2+C$ .
Repasar esta idea y sus símbolos
Comprueba derivando: el factor 5 cancela el denominador y recuperas $2x^4$ .
Necesito entender este paso
Fracciones simples: separar antes de integrar
Puedes escribir $1/[x(x+1)]$ como $1/x-1/(x+1)$ . Para comprobarlo, multiplica arriba y abajo de $1/x$ por $x+1$ , y arriba y abajo de $1/(x+1)$ por $x$ . No cambias sus valores para los $x$ permitidos y ahora ambas tienen $x(x+1)$ abajo. Al restarlas, arriba queda $(x+1)-x=1$ .
Separar así se llama descomposición en fracciones simples. Se usa con polinomios, expresiones como $x^2+3x-1$ . A veces puedes simplificar antes: $(x^2+x)/x=x(x+1)/x=x+1$ cuando $x\ne0$ , porque divides la misma multiplicación por $x$ . El resultado es $x+1$ , sin fracción; el 0 sigue excluido.
Para partes distintas como $x$ y $x+1$ , busca $A/x+B/(x+1)$ . Si aparece $x^2$ como parte de abajo, necesitas $A/x+B/x^2$ . Para una parte $x^2+1$ , usa $(Ax+B)/(x^2+1)$ . Las letras son números por encontrar, no valores de $x$ . Sigue dejando fuera los números que hacían 0 abajo en la fracción original.
Prueba con un ejemplo pequeño
Calcula $\int\dfrac1{x(x+1)}\,dx$ .
1. Abajo está $x(x+1)$ : $x$ se multiplica por $x+1$ . Como sabes integrar $1/x$ y $1/(x+1)$ , busca $A/x+B/(x+1)$ ; $A$ y $B$ serán números que hagan verdadera la igualdad.
2. Para poder sumarlas, consigue el mismo denominador sin cambiar su valor. Multiplica arriba y abajo de la primera por $x+1$ : $A/x=A(x+1)/[x(x+1)]$ . Hazlo en la segunda por $x$ : $B/(x+1)=Bx/[x(x+1)]$ . Ahora su suma es $\dfrac{A(x+1)+Bx}{x(x+1)}$ .
3. La suma debe valer $1/[x(x+1)]$ para todos los $x$ permitidos. Como lo de abajo ya coincide, lo de arriba debe dar 1: $A(x+1)+Bx=1$ . Multiplica el paréntesis y reúne lo que lleva $x$ : $A+(A+B)x=1+0x$ .
4. Iguala las partes fijas y las que multiplican a $x$ : $A=1$ y $A+B=0$ . Pon 1 solo donde estaba $A$ : $1+B=0$ . Resta 1 en ambos lados y obtienes $B=-1$ . La fracción queda $1/x-1/(x+1)$ .
5. Integra cada término: $1/x$ da $\ln|x|$ ; $1/(x+1)$ da $\ln|x+1|$ , porque derivar $x+1$ da 1. Conserva la resta: $\ln|x|-\ln|x+1|+C$ , sin cruzar −1 ni 0.
$\ln|x|-\ln|x+1|+C$ , en un tramo que no pase por −1 ni 0.
Repasar esta idea y sus símbolos

Conclusión

\frac{2}{5}

x^{5}

EJEMPLO RESUELTO

Integrales logarítmicas

Encuentra la integral en un intervalo que no contenga 0.

\int\frac{3}x\,dx

Cómo pensar el primer paso

Integrales inmediatas: reconocer una derivada conocida

Qué buscar en la pregunta: La integral suma potencias sencillas, constantes, $1/x$ , $e^x$ , seno o coseno.

Te piden una primitiva de toda la expresión. Separa la suma y busca una función que, al derivarla, devuelva cada término con su mismo multiplicador.

Ver un ejemplo pequeño de esta idea

Primitiva: encontrar la función que tenía esa derivada

Qué buscar en la pregunta: Te piden una primitiva, una integral sin números de inicio y final, o una función cuya derivada conoces.

La pregunta da una derivada y pide la función anterior. Busca una primitiva; si además da $F(a)$ , usa ese dato para calcular la constante.

Ver un ejemplo pequeño de esta idea

Saca la constante 3.
Necesito entender este paso
Integrales inmediatas: reconocer una derivada conocida
Quieres integrar $x^2$ . Probar $x^3$ da demasiado al derivar: $3x^2$ . Divide entre 3 y prueba otra vez: la derivada de $x^3/3$ es exactamente $x^2$ .
La derivada de $x^{n+1}$ es $(n+1)x^n$ . Si divides esa función entre $n+1$ , al derivar el multiplicador se divide por el mismo número y queda $x^n$ . De ahí sale la regla: aumentar el exponente y dividir entre él. Solo puedes hacerlo si $n+1\ne0$ .
Con $1/x=x^{-1}$ no hagas esa receta: te llevaría a dividir entre 0. Su primitiva es $\ln|x|$ en un tramo que no cruce 0. Las barras vuelven positivo el número para el logaritmo. Para $e^x$ , una primitiva es $e^x$ . Para $\cos x$ , es $\sin x$ ; para $\sin x$ , es $-\cos x$ : en cada caso, derivar la respuesta recupera lo que querías integrar.
Prueba con un ejemplo pequeño
Calcula $\int(3x^2-2/x)\,dx$ donde $x\ne0$ .
1. La integral es una resta de términos. Escríbela como $\int3x^2\,dx-2\int(1/x)\,dx$ para trabajar cada parte por separado.
2. La primera primitiva es $x^3$ : su derivada es $3x^2$ , exactamente lo que pide el primer término.
3. La segunda integral usa la regla de $1/x$ : su primitiva es $\ln|x|$ . Conserva el −2 que la multiplica: $-2\ln|x|$ .
4. Reúne los términos: $x^3-2\ln|x|+C$ . Las constantes de ambas partes se pueden reunir en una sola $C$ .
$x^3-2\ln|x|+C$ .
Repasar esta idea y sus símbolos
∫1/ $x$ dx=ln| $x$ |+C.
Necesito entender este paso
Integrales inmediatas: reconocer una derivada conocida
Quieres integrar $x^2$ . Probar $x^3$ da demasiado al derivar: $3x^2$ . Divide entre 3 y prueba otra vez: la derivada de $x^3/3$ es exactamente $x^2$ .
La derivada de $x^{n+1}$ es $(n+1)x^n$ . Si divides esa función entre $n+1$ , al derivar el multiplicador se divide por el mismo número y queda $x^n$ . De ahí sale la regla: aumentar el exponente y dividir entre él. Solo puedes hacerlo si $n+1\ne0$ .
Con $1/x=x^{-1}$ no hagas esa receta: te llevaría a dividir entre 0. Su primitiva es $\ln|x|$ en un tramo que no cruce 0. Las barras vuelven positivo el número para el logaritmo. Para $e^x$ , una primitiva es $e^x$ . Para $\cos x$ , es $\sin x$ ; para $\sin x$ , es $-\cos x$ : en cada caso, derivar la respuesta recupera lo que querías integrar.
Prueba con un ejemplo pequeño
Calcula $\int(3x^2-2/x)\,dx$ donde $x\ne0$ .
1. La integral es una resta de términos. Escríbela como $\int3x^2\,dx-2\int(1/x)\,dx$ para trabajar cada parte por separado.
2. La primera primitiva es $x^3$ : su derivada es $3x^2$ , exactamente lo que pide el primer término.
3. La segunda integral usa la regla de $1/x$ : su primitiva es $\ln|x|$ . Conserva el −2 que la multiplica: $-2\ln|x|$ .
4. Reúne los términos: $x^3-2\ln|x|+C$ . Las constantes de ambas partes se pueden reunir en una sola $C$ .
$x^3-2\ln|x|+C$ .
Repasar esta idea y sus símbolos
La integral es 3ln| $x$ |+C; el valor absoluto permite ambos signos de $x$ .
Necesito entender este paso
Integrales inmediatas: reconocer una derivada conocida
Quieres integrar $x^2$ . Probar $x^3$ da demasiado al derivar: $3x^2$ . Divide entre 3 y prueba otra vez: la derivada de $x^3/3$ es exactamente $x^2$ .
La derivada de $x^{n+1}$ es $(n+1)x^n$ . Si divides esa función entre $n+1$ , al derivar el multiplicador se divide por el mismo número y queda $x^n$ . De ahí sale la regla: aumentar el exponente y dividir entre él. Solo puedes hacerlo si $n+1\ne0$ .
Con $1/x=x^{-1}$ no hagas esa receta: te llevaría a dividir entre 0. Su primitiva es $\ln|x|$ en un tramo que no cruce 0. Las barras vuelven positivo el número para el logaritmo. Para $e^x$ , una primitiva es $e^x$ . Para $\cos x$ , es $\sin x$ ; para $\sin x$ , es $-\cos x$ : en cada caso, derivar la respuesta recupera lo que querías integrar.
Prueba con un ejemplo pequeño
Calcula $\int(3x^2-2/x)\,dx$ donde $x\ne0$ .
1. La integral es una resta de términos. Escríbela como $\int3x^2\,dx-2\int(1/x)\,dx$ para trabajar cada parte por separado.
2. La primera primitiva es $x^3$ : su derivada es $3x^2$ , exactamente lo que pide el primer término.
3. La segunda integral usa la regla de $1/x$ : su primitiva es $\ln|x|$ . Conserva el −2 que la multiplica: $-2\ln|x|$ .
4. Reúne los términos: $x^3-2\ln|x|+C$ . Las constantes de ambas partes se pueden reunir en una sola $C$ .
$x^3-2\ln|x|+C$ .
Repasar esta idea y sus símbolos

Conclusión3\ln|

x

|+C

EJEMPLO RESUELTO

Hacer un cambio de variable

Integra la función con el cambio u=ax.

\int e^{4x}\,dx

Cómo pensar el primer paso

Sustitución: abreviar lo que está dentro del paréntesis

Qué buscar en la pregunta: Dentro de una potencia o función aparece otra expresión, y cerca está multiplicando su derivada.

La integral debe convertirse entera a una sola letra. Busca lo de dentro del paréntesis y comprueba si su derivada aparece como multiplicador.

Ver un ejemplo pequeño de esta idea

Toma u= $4x$ : du=4dx.
Necesito entender este paso
Sustitución: abreviar lo que está dentro del paréntesis
En $(x^2+1)^3$ , con $x$ igual a 1 calculas primero 2 y después $2^3$ . Si llamas $u$ a $x^2+1$ , la misma expresión queda $u^3$ . Todavía no hemos integrado nada: solo abreviamos el nombre.
Prueba $(x^2+1)^4/4$ y derívala. Al derivar la potencia, el 4 se divide entre 4 y queda $(x^2+1)^3$ . La regla de la cadena pide además multiplicar por $2x$ , la derivada de $x^2+1$ . Obtienes $2x(x^2+1)^3$ . Por eso buscamos juntas la expresión interior y su derivada.
Para escribirlo más corto, pon $u=x^2+1$ y sustituye todo $2x\,dx$ por $du$ . $dx$ dice que integras respecto de $x$ ; $du$ , respecto de $u$ . No cambies solo $dx$ dejando el $2x$ fuera. Al acabar, vuelve a escribir el resultado con $x$ . Si hay límites, cámbialos también a $u$ o recupera $x$ antes de usar los originales.
Prueba con un ejemplo pequeño
Calcula $\int2x(x^2+1)^3\,dx$ .
1. Buscamos una primitiva. El interior $x^2+1$ complica la potencia, pero su derivada $2x$ también aparece. Esa pareja permite cambiar a $u$ .
2. Pon $u=x^2+1$ y $du=2x\,dx$ . Reordena la expresión como $\int(x^2+1)^3(2x\,dx)$ para ver juntas las dos cosas que reemplazas.
3. Sustituye el paréntesis por $u$ y la parte completa $2x\,dx$ por $du$ : queda $\int u^3\,du$ . Aumenta el exponente de 3 a 4 y divide entre ese 4, para compensar lo que aparecerá al derivar: $u^4/4+C$ .
4. La respuesta debe volver a $x$ : reemplaza $u$ por su definición y obtienes $(x^2+1)^4/4+C$ . Al derivar, la cadena vuelve a aportar el $2x$ necesario.
$\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C$ .
Repasar esta idea y sus símbolos
dx=du/4.
Necesito entender este paso
Sustitución: abreviar lo que está dentro del paréntesis
En $(x^2+1)^3$ , con $x$ igual a 1 calculas primero 2 y después $2^3$ . Si llamas $u$ a $x^2+1$ , la misma expresión queda $u^3$ . Todavía no hemos integrado nada: solo abreviamos el nombre.
Prueba $(x^2+1)^4/4$ y derívala. Al derivar la potencia, el 4 se divide entre 4 y queda $(x^2+1)^3$ . La regla de la cadena pide además multiplicar por $2x$ , la derivada de $x^2+1$ . Obtienes $2x(x^2+1)^3$ . Por eso buscamos juntas la expresión interior y su derivada.
Para escribirlo más corto, pon $u=x^2+1$ y sustituye todo $2x\,dx$ por $du$ . $dx$ dice que integras respecto de $x$ ; $du$ , respecto de $u$ . No cambies solo $dx$ dejando el $2x$ fuera. Al acabar, vuelve a escribir el resultado con $x$ . Si hay límites, cámbialos también a $u$ o recupera $x$ antes de usar los originales.
Prueba con un ejemplo pequeño
Calcula $\int2x(x^2+1)^3\,dx$ .
1. Buscamos una primitiva. El interior $x^2+1$ complica la potencia, pero su derivada $2x$ también aparece. Esa pareja permite cambiar a $u$ .
2. Pon $u=x^2+1$ y $du=2x\,dx$ . Reordena la expresión como $\int(x^2+1)^3(2x\,dx)$ para ver juntas las dos cosas que reemplazas.
3. Sustituye el paréntesis por $u$ y la parte completa $2x\,dx$ por $du$ : queda $\int u^3\,du$ . Aumenta el exponente de 3 a 4 y divide entre ese 4, para compensar lo que aparecerá al derivar: $u^4/4+C$ .
4. La respuesta debe volver a $x$ : reemplaza $u$ por su definición y obtienes $(x^2+1)^4/4+C$ . Al derivar, la cadena vuelve a aportar el $2x$ necesario.
$\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C$ .
Repasar esta idea y sus símbolos
La integral queda (1/4)∫eᵘdu= $\frac{1}{4}$ e^{ $4x$ }+C.
Necesito entender este paso
Sustitución: abreviar lo que está dentro del paréntesis
En $(x^2+1)^3$ , con $x$ igual a 1 calculas primero 2 y después $2^3$ . Si llamas $u$ a $x^2+1$ , la misma expresión queda $u^3$ . Todavía no hemos integrado nada: solo abreviamos el nombre.
Prueba $(x^2+1)^4/4$ y derívala. Al derivar la potencia, el 4 se divide entre 4 y queda $(x^2+1)^3$ . La regla de la cadena pide además multiplicar por $2x$ , la derivada de $x^2+1$ . Obtienes $2x(x^2+1)^3$ . Por eso buscamos juntas la expresión interior y su derivada.
Para escribirlo más corto, pon $u=x^2+1$ y sustituye todo $2x\,dx$ por $du$ . $dx$ dice que integras respecto de $x$ ; $du$ , respecto de $u$ . No cambies solo $dx$ dejando el $2x$ fuera. Al acabar, vuelve a escribir el resultado con $x$ . Si hay límites, cámbialos también a $u$ o recupera $x$ antes de usar los originales.
Prueba con un ejemplo pequeño
Calcula $\int2x(x^2+1)^3\,dx$ .
1. Buscamos una primitiva. El interior $x^2+1$ complica la potencia, pero su derivada $2x$ también aparece. Esa pareja permite cambiar a $u$ .
2. Pon $u=x^2+1$ y $du=2x\,dx$ . Reordena la expresión como $\int(x^2+1)^3(2x\,dx)$ para ver juntas las dos cosas que reemplazas.
3. Sustituye el paréntesis por $u$ y la parte completa $2x\,dx$ por $du$ : queda $\int u^3\,du$ . Aumenta el exponente de 3 a 4 y divide entre ese 4, para compensar lo que aparecerá al derivar: $u^4/4+C$ .
4. La respuesta debe volver a $x$ : reemplaza $u$ por su definición y obtienes $(x^2+1)^4/4+C$ . Al derivar, la cadena vuelve a aportar el $2x$ necesario.
$\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C$ .
Repasar esta idea y sus símbolos

Conclusión

\frac{1}{4}

e^{

4x

}+C

Integrar potencias

Cómo pensar el primer paso

Primitiva: encontrar la función que tenía esa derivada

Integrales inmediatas: reconocer una derivada conocida

Integrales inmediatas: reconocer una derivada conocida

Prueba con un ejemplo pequeño

Primitiva: encontrar la función que tenía esa derivada

Prueba con un ejemplo pequeño

Fracciones simples: separar antes de integrar

Prueba con un ejemplo pequeño

Integrales logarítmicas

Cómo pensar el primer paso

Integrales inmediatas: reconocer una derivada conocida

Primitiva: encontrar la función que tenía esa derivada

Integrales inmediatas: reconocer una derivada conocida

Prueba con un ejemplo pequeño

Integrales inmediatas: reconocer una derivada conocida

Prueba con un ejemplo pequeño

Integrales inmediatas: reconocer una derivada conocida

Prueba con un ejemplo pequeño

Hacer un cambio de variable

Cómo pensar el primer paso

Sustitución: abreviar lo que está dentro del paréntesis

Sustitución: abreviar lo que está dentro del paréntesis

Prueba con un ejemplo pequeño

Sustitución: abreviar lo que está dentro del paréntesis

Prueba con un ejemplo pequeño

Sustitución: abreviar lo que está dentro del paréntesis

Prueba con un ejemplo pequeño

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