Matrices y determinantes

Multiplicar matrices: una fila con una columna

Una tienda vende cuadernos a 5 € y carpetas a 6 €. Un pedido lleva 1 cuaderno y 2 carpetas: cuesta $1\cdot5+2\cdot6=17$ €. Otro lleva 3 cuadernos y 4 carpetas: cuesta $3\cdot5+4\cdot6=39$ €. Cada total sale de juntar cantidades y precios del mismo producto.

Pon los pedidos en $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ y los precios en $B=\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}$. Las dos cuentas anteriores forman $AB=\begin{pmatrix}17\\39\end{pmatrix}$. Esa operación se llama producto de matrices. Para cada fila de pedidos, multiplica cada cantidad por el precio que ocupa el mismo lugar en la columna y suma los productos: $1\cdot5+2\cdot6$, después $3\cdot5+4\cdot6$.

Cada fila contiene dos cantidades y la columna contiene dos precios: puedes emparejarlos. Esa es la razón para exigir que el número de columnas de $A$ coincida con el número de filas de $B$. El resultado tiene una fila por pedido y una columna por lista de precios. En el examen, comprueba esa coincidencia antes de calcular; invertir el orden puede impedir el producto o cambiarlo.

Prueba con un ejemplo pequeño

Con $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}$, ¿por qué el primer total no es solo $1\cdot5$? ¿Cuántos totales tendrá $AB$?

1. Buscamos un coste por pedido. Hay dos filas de pedidos y una columna de precios: esperamos dos totales en una columna. Para el primero usa toda la fila $(1,2)$ y la columna $(5,6)$, en ese orden.
2. Multiplica cada cantidad por su precio y suma: $1\cdot5+2\cdot6=17$. Si escribieras solo $1\cdot5$, dejarías sin contar las dos carpetas.
3. La segunda fila es otro pedido: $3\cdot5+4\cdot6=39$. Hay dos pedidos y una lista de precios, así que habrá dos totales en una columna.

$AB=\begin{pmatrix}17\\39\end{pmatrix}$, de tamaño $2\times1$.

Ver un uso cotidiano: ¿Alcanza el presupuesto para preparar dos entrevistas?

Multiplicar matrices: una fila con una columna

Una tienda vende cuadernos a 5 € y carpetas a 6 €. Un pedido lleva 1 cuaderno y 2 carpetas: cuesta $1\cdot5+2\cdot6=17$ €. Otro lleva 3 cuadernos y 4 carpetas: cuesta $3\cdot5+4\cdot6=39$ €. Cada total sale de juntar cantidades y precios del mismo producto.

Pon los pedidos en $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ y los precios en $B=\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}$. Las dos cuentas anteriores forman $AB=\begin{pmatrix}17\\39\end{pmatrix}$. Esa operación se llama producto de matrices. Para cada fila de pedidos, multiplica cada cantidad por el precio que ocupa el mismo lugar en la columna y suma los productos: $1\cdot5+2\cdot6$, después $3\cdot5+4\cdot6$.

Cada fila contiene dos cantidades y la columna contiene dos precios: puedes emparejarlos. Esa es la razón para exigir que el número de columnas de $A$ coincida con el número de filas de $B$. El resultado tiene una fila por pedido y una columna por lista de precios. En el examen, comprueba esa coincidencia antes de calcular; invertir el orden puede impedir el producto o cambiarlo.

Prueba con un ejemplo pequeño

Con $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}$, ¿por qué el primer total no es solo $1\cdot5$? ¿Cuántos totales tendrá $AB$?

1. Buscamos un coste por pedido. Hay dos filas de pedidos y una columna de precios: esperamos dos totales en una columna. Para el primero usa toda la fila $(1,2)$ y la columna $(5,6)$, en ese orden.
2. Multiplica cada cantidad por su precio y suma: $1\cdot5+2\cdot6=17$. Si escribieras solo $1\cdot5$, dejarías sin contar las dos carpetas.
3. La segunda fila es otro pedido: $3\cdot5+4\cdot6=39$. Hay dos pedidos y una lista de precios, así que habrá dos totales en una columna.

$AB=\begin{pmatrix}17\\39\end{pmatrix}$, de tamaño $2\times1$.

Ver un uso cotidiano: ¿Alcanza el presupuesto para preparar dos entrevistas?

Multiplicar matrices: una fila con una columna

Una tienda vende cuadernos a 5 € y carpetas a 6 €. Un pedido lleva 1 cuaderno y 2 carpetas: cuesta $1\cdot5+2\cdot6=17$ €. Otro lleva 3 cuadernos y 4 carpetas: cuesta $3\cdot5+4\cdot6=39$ €. Cada total sale de juntar cantidades y precios del mismo producto.

Pon los pedidos en $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ y los precios en $B=\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}$. Las dos cuentas anteriores forman $AB=\begin{pmatrix}17\\39\end{pmatrix}$. Esa operación se llama producto de matrices. Para cada fila de pedidos, multiplica cada cantidad por el precio que ocupa el mismo lugar en la columna y suma los productos: $1\cdot5+2\cdot6$, después $3\cdot5+4\cdot6$.

Cada fila contiene dos cantidades y la columna contiene dos precios: puedes emparejarlos. Esa es la razón para exigir que el número de columnas de $A$ coincida con el número de filas de $B$. El resultado tiene una fila por pedido y una columna por lista de precios. En el examen, comprueba esa coincidencia antes de calcular; invertir el orden puede impedir el producto o cambiarlo.

Prueba con un ejemplo pequeño

Con $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}$, ¿por qué el primer total no es solo $1\cdot5$? ¿Cuántos totales tendrá $AB$?

1. Buscamos un coste por pedido. Hay dos filas de pedidos y una columna de precios: esperamos dos totales en una columna. Para el primero usa toda la fila $(1,2)$ y la columna $(5,6)$, en ese orden.
2. Multiplica cada cantidad por su precio y suma: $1\cdot5+2\cdot6=17$. Si escribieras solo $1\cdot5$, dejarías sin contar las dos carpetas.
3. La segunda fila es otro pedido: $3\cdot5+4\cdot6=39$. Hay dos pedidos y una lista de precios, así que habrá dos totales en una columna.

$AB=\begin{pmatrix}17\\39\end{pmatrix}$, de tamaño $2\times1$.

Ver un uso cotidiano: ¿Alcanza el presupuesto para preparar dos entrevistas?

Determinante, menores y signos

Buscas dos números que cumplan $x+y=5$ y $2x+3y=12$. Multiplica ambos lados de la primera por 2: $2(x+y)=2\cdot5$, es decir, $2x+2y=10$. Resta esa ecuación de la segunda, en ambos lados: $(2x+3y)-(2x+2y)=12-10$. Queda $y=2$. Para averiguar $x$, pon ese 2 en lugar de $y$ en $x+y=5$: $x+2=5$. Resta 2 a ambos lados, $x+2-2=5-2$, y queda $x=3$. Si la segunda fuera $2x+2y=10$, la resta dejaría $0=0$: tanto $(3,2)$ como $(4,1)$ encajarían. Queremos distinguir esas situaciones mirando los números que multiplican $x$ e $y$.

Para $\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}$, la cuenta $1\cdot3-1\cdot2$ vale 1; para $\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}$ vale 0. Esa cuenta se llama determinante y se escribe $\det(A)$ o $|A|$. Si no da cero, los totales permiten averiguar una única lista de números (dos en este ejemplo), como $x=3$ e $y=2$ en las primeras ecuaciones. Si da cero, una misma lista de totales puede corresponder a distintos pares: con total 5 y su doble 10 encajan tanto $(3,2)$ como $(4,1)$. Esta regla se aplica a matrices con igual número de filas y columnas, llamadas cuadradas.

Con tres filas puedes reducir el cálculo a tablas de dos filas: tachas una fila y una columna, y calculas el determinante que queda. Ese número se llama menor de la casilla tachada. Al multiplicar cada casilla por el determinante de la tabla que queda, usa signos que alternan $+,-,+$ en la primera fila; el menor con su signo se llama cofactor o adjunto. El ejemplo muestra las casillas exactas que hay que tachar.

Prueba con un ejemplo pequeño

En $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&1\\0&0&2\end{pmatrix}$, ¿por qué elegir la primera fila simplifica el determinante? Calcula siguiendo las tablas que quedan.

1. En la primera fila hay un cero. Al multiplicarlo por el determinante que le corresponda, dará cero. Para las otras dos casillas usarás los signos $+,-$.
2. Para el 1, tacha fila 1 y columna 1: queda $\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$ y su determinante es $3\cdot2-1\cdot0=6$.
3. Para el 2, tacha fila 1 y columna 2: queda $\begin{pmatrix}0&1\\0&2\end{pmatrix}$. Calcula $0\cdot2-1\cdot0=0$. Este menor llevaría signo negativo, pero su aporte será $-2\cdot0=0$.
4. Multiplica cada casilla por su menor con el signo: $\det(A)=1\cdot6-2\cdot0+0=6$.

$\det(A)=6\ne0$: la matriz tiene inversa. Los ceros te han ahorrado cuentas, sin cambiar el método.

Determinante, menores y signos

Buscas dos números que cumplan $x+y=5$ y $2x+3y=12$. Multiplica ambos lados de la primera por 2: $2(x+y)=2\cdot5$, es decir, $2x+2y=10$. Resta esa ecuación de la segunda, en ambos lados: $(2x+3y)-(2x+2y)=12-10$. Queda $y=2$. Para averiguar $x$, pon ese 2 en lugar de $y$ en $x+y=5$: $x+2=5$. Resta 2 a ambos lados, $x+2-2=5-2$, y queda $x=3$. Si la segunda fuera $2x+2y=10$, la resta dejaría $0=0$: tanto $(3,2)$ como $(4,1)$ encajarían. Queremos distinguir esas situaciones mirando los números que multiplican $x$ e $y$.

Para $\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}$, la cuenta $1\cdot3-1\cdot2$ vale 1; para $\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}$ vale 0. Esa cuenta se llama determinante y se escribe $\det(A)$ o $|A|$. Si no da cero, los totales permiten averiguar una única lista de números (dos en este ejemplo), como $x=3$ e $y=2$ en las primeras ecuaciones. Si da cero, una misma lista de totales puede corresponder a distintos pares: con total 5 y su doble 10 encajan tanto $(3,2)$ como $(4,1)$. Esta regla se aplica a matrices con igual número de filas y columnas, llamadas cuadradas.

Con tres filas puedes reducir el cálculo a tablas de dos filas: tachas una fila y una columna, y calculas el determinante que queda. Ese número se llama menor de la casilla tachada. Al multiplicar cada casilla por el determinante de la tabla que queda, usa signos que alternan $+,-,+$ en la primera fila; el menor con su signo se llama cofactor o adjunto. El ejemplo muestra las casillas exactas que hay que tachar.

Prueba con un ejemplo pequeño

En $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&1\\0&0&2\end{pmatrix}$, ¿por qué elegir la primera fila simplifica el determinante? Calcula siguiendo las tablas que quedan.

1. En la primera fila hay un cero. Al multiplicarlo por el determinante que le corresponda, dará cero. Para las otras dos casillas usarás los signos $+,-$.
2. Para el 1, tacha fila 1 y columna 1: queda $\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$ y su determinante es $3\cdot2-1\cdot0=6$.
3. Para el 2, tacha fila 1 y columna 2: queda $\begin{pmatrix}0&1\\0&2\end{pmatrix}$. Calcula $0\cdot2-1\cdot0=0$. Este menor llevaría signo negativo, pero su aporte será $-2\cdot0=0$.
4. Multiplica cada casilla por su menor con el signo: $\det(A)=1\cdot6-2\cdot0+0=6$.

$\det(A)=6\ne0$: la matriz tiene inversa. Los ceros te han ahorrado cuentas, sin cambiar el método.

Determinante, menores y signos

Buscas dos números que cumplan $x+y=5$ y $2x+3y=12$. Multiplica ambos lados de la primera por 2: $2(x+y)=2\cdot5$, es decir, $2x+2y=10$. Resta esa ecuación de la segunda, en ambos lados: $(2x+3y)-(2x+2y)=12-10$. Queda $y=2$. Para averiguar $x$, pon ese 2 en lugar de $y$ en $x+y=5$: $x+2=5$. Resta 2 a ambos lados, $x+2-2=5-2$, y queda $x=3$. Si la segunda fuera $2x+2y=10$, la resta dejaría $0=0$: tanto $(3,2)$ como $(4,1)$ encajarían. Queremos distinguir esas situaciones mirando los números que multiplican $x$ e $y$.

Para $\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}$, la cuenta $1\cdot3-1\cdot2$ vale 1; para $\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}$ vale 0. Esa cuenta se llama determinante y se escribe $\det(A)$ o $|A|$. Si no da cero, los totales permiten averiguar una única lista de números (dos en este ejemplo), como $x=3$ e $y=2$ en las primeras ecuaciones. Si da cero, una misma lista de totales puede corresponder a distintos pares: con total 5 y su doble 10 encajan tanto $(3,2)$ como $(4,1)$. Esta regla se aplica a matrices con igual número de filas y columnas, llamadas cuadradas.

Con tres filas puedes reducir el cálculo a tablas de dos filas: tachas una fila y una columna, y calculas el determinante que queda. Ese número se llama menor de la casilla tachada. Al multiplicar cada casilla por el determinante de la tabla que queda, usa signos que alternan $+,-,+$ en la primera fila; el menor con su signo se llama cofactor o adjunto. El ejemplo muestra las casillas exactas que hay que tachar.

Prueba con un ejemplo pequeño

En $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&1\\0&0&2\end{pmatrix}$, ¿por qué elegir la primera fila simplifica el determinante? Calcula siguiendo las tablas que quedan.

1. En la primera fila hay un cero. Al multiplicarlo por el determinante que le corresponda, dará cero. Para las otras dos casillas usarás los signos $+,-$.
2. Para el 1, tacha fila 1 y columna 1: queda $\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$ y su determinante es $3\cdot2-1\cdot0=6$.
3. Para el 2, tacha fila 1 y columna 2: queda $\begin{pmatrix}0&1\\0&2\end{pmatrix}$. Calcula $0\cdot2-1\cdot0=0$. Este menor llevaría signo negativo, pero su aporte será $-2\cdot0=0$.
4. Multiplica cada casilla por su menor con el signo: $\det(A)=1\cdot6-2\cdot0+0=6$.

$\det(A)=6\ne0$: la matriz tiene inversa. Los ceros te han ahorrado cuentas, sin cambiar el método.

Determinante, menores y signos

Buscas dos números que cumplan $x+y=5$ y $2x+3y=12$. Multiplica ambos lados de la primera por 2: $2(x+y)=2\cdot5$, es decir, $2x+2y=10$. Resta esa ecuación de la segunda, en ambos lados: $(2x+3y)-(2x+2y)=12-10$. Queda $y=2$. Para averiguar $x$, pon ese 2 en lugar de $y$ en $x+y=5$: $x+2=5$. Resta 2 a ambos lados, $x+2-2=5-2$, y queda $x=3$. Si la segunda fuera $2x+2y=10$, la resta dejaría $0=0$: tanto $(3,2)$ como $(4,1)$ encajarían. Queremos distinguir esas situaciones mirando los números que multiplican $x$ e $y$.

Para $\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}$, la cuenta $1\cdot3-1\cdot2$ vale 1; para $\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}$ vale 0. Esa cuenta se llama determinante y se escribe $\det(A)$ o $|A|$. Si no da cero, los totales permiten averiguar una única lista de números (dos en este ejemplo), como $x=3$ e $y=2$ en las primeras ecuaciones. Si da cero, una misma lista de totales puede corresponder a distintos pares: con total 5 y su doble 10 encajan tanto $(3,2)$ como $(4,1)$. Esta regla se aplica a matrices con igual número de filas y columnas, llamadas cuadradas.

Con tres filas puedes reducir el cálculo a tablas de dos filas: tachas una fila y una columna, y calculas el determinante que queda. Ese número se llama menor de la casilla tachada. Al multiplicar cada casilla por el determinante de la tabla que queda, usa signos que alternan $+,-,+$ en la primera fila; el menor con su signo se llama cofactor o adjunto. El ejemplo muestra las casillas exactas que hay que tachar.

Prueba con un ejemplo pequeño

En $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&1\\0&0&2\end{pmatrix}$, ¿por qué elegir la primera fila simplifica el determinante? Calcula siguiendo las tablas que quedan.

1. En la primera fila hay un cero. Al multiplicarlo por el determinante que le corresponda, dará cero. Para las otras dos casillas usarás los signos $+,-$.
2. Para el 1, tacha fila 1 y columna 1: queda $\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$ y su determinante es $3\cdot2-1\cdot0=6$.
3. Para el 2, tacha fila 1 y columna 2: queda $\begin{pmatrix}0&1\\0&2\end{pmatrix}$. Calcula $0\cdot2-1\cdot0=0$. Este menor llevaría signo negativo, pero su aporte será $-2\cdot0=0$.
4. Multiplica cada casilla por su menor con el signo: $\det(A)=1\cdot6-2\cdot0+0=6$.

$\det(A)=6\ne0$: la matriz tiene inversa. Los ceros te han ahorrado cuentas, sin cambiar el método.

La inversa deshace una matriz

Un lote pequeño lleva un cuaderno; un lote grande lleva dos cuadernos y una carpeta. Si al abrir los lotes cuentas 3 cuadernos y 1 carpeta, la carpeta revela que había un lote grande. Sus dos cuadernos dejan uno restante: había también un lote pequeño. Has averiguado cuántos lotes había mirando los cuadernos y carpetas que contenían.

La matriz $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ convierte «lotes pequeños, lotes grandes» en «cuadernos, carpetas». Para volver atrás usamos $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}$: resta dos veces el número de carpetas al de cuadernos y conserva el de carpetas. Esa tabla que deshace la primera se llama inversa.

Si aplicas $A$ y su inversa seguidas a $(1,1)$, vuelves a $(1,1)$; también volverías a $(4,7)$ si esos fueran los dos números que habías puesto. Por eso su producto es $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$, la matriz identidad: devuelve cada número sin mezclarlo con el otro. En el examen, la inversa de una matriz cuadrada existe si su determinante no es cero. Para dos filas usa la fórmula. Para más filas, coloca $A$ e $I$ una al lado de la otra, con $I$ a la derecha: $(A|I)$. La barra solo separa ambas partes. Haz las restas y multiplicaciones de filas del método de Gauss en las dos partes de la tabla, incluidos los números de $I$; cuando la parte izquierda sea $I$, la derecha será la inversa: $(I|A^{-1})$.

Prueba con un ejemplo pequeño

Con $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$, cada lote grande incluye dos cuadernos y una carpeta. ¿Por qué aparece $-2$ en la inversa? Averigua los lotes al contar 3 cuadernos y 1 carpeta.

1. Cada carpeta pertenece a un lote grande con dos cuadernos. Resta esos cuadernos del total: $3-2\cdot1=1$. Queda un cuaderno que debe venir de un lote pequeño.
2. La carpeta indica un lote grande: recuperas $(1,1)$. La inversa hace ambas cuentas a la vez: $A^{-1}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot3-2\cdot1\\0\cdot3+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$.
3. Comprueba el contenido de esos lotes: $A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot1\\0\cdot1+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$. Vuelves a contar los mismos cuadernos y carpetas.
4. Comprueba también las dos tablas: $AA^{-1}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot0&1\cdot(-2)+2\cdot1\\0\cdot1+1\cdot0&0\cdot(-2)+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I$. El producto devuelve cada número original.

El $-2$ retira los cuadernos que ya pertenecían a los lotes grandes; no significa que haya lotes negativos.

Ver un uso cotidiano: Girar una marca de una foto y devolverla a su sitio

Determinante, menores y signos

Buscas dos números que cumplan $x+y=5$ y $2x+3y=12$. Multiplica ambos lados de la primera por 2: $2(x+y)=2\cdot5$, es decir, $2x+2y=10$. Resta esa ecuación de la segunda, en ambos lados: $(2x+3y)-(2x+2y)=12-10$. Queda $y=2$. Para averiguar $x$, pon ese 2 en lugar de $y$ en $x+y=5$: $x+2=5$. Resta 2 a ambos lados, $x+2-2=5-2$, y queda $x=3$. Si la segunda fuera $2x+2y=10$, la resta dejaría $0=0$: tanto $(3,2)$ como $(4,1)$ encajarían. Queremos distinguir esas situaciones mirando los números que multiplican $x$ e $y$.

Para $\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}$, la cuenta $1\cdot3-1\cdot2$ vale 1; para $\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}$ vale 0. Esa cuenta se llama determinante y se escribe $\det(A)$ o $|A|$. Si no da cero, los totales permiten averiguar una única lista de números (dos en este ejemplo), como $x=3$ e $y=2$ en las primeras ecuaciones. Si da cero, una misma lista de totales puede corresponder a distintos pares: con total 5 y su doble 10 encajan tanto $(3,2)$ como $(4,1)$. Esta regla se aplica a matrices con igual número de filas y columnas, llamadas cuadradas.

Con tres filas puedes reducir el cálculo a tablas de dos filas: tachas una fila y una columna, y calculas el determinante que queda. Ese número se llama menor de la casilla tachada. Al multiplicar cada casilla por el determinante de la tabla que queda, usa signos que alternan $+,-,+$ en la primera fila; el menor con su signo se llama cofactor o adjunto. El ejemplo muestra las casillas exactas que hay que tachar.

Prueba con un ejemplo pequeño

En $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&1\\0&0&2\end{pmatrix}$, ¿por qué elegir la primera fila simplifica el determinante? Calcula siguiendo las tablas que quedan.

1. En la primera fila hay un cero. Al multiplicarlo por el determinante que le corresponda, dará cero. Para las otras dos casillas usarás los signos $+,-$.
2. Para el 1, tacha fila 1 y columna 1: queda $\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$ y su determinante es $3\cdot2-1\cdot0=6$.
3. Para el 2, tacha fila 1 y columna 2: queda $\begin{pmatrix}0&1\\0&2\end{pmatrix}$. Calcula $0\cdot2-1\cdot0=0$. Este menor llevaría signo negativo, pero su aporte será $-2\cdot0=0$.
4. Multiplica cada casilla por su menor con el signo: $\det(A)=1\cdot6-2\cdot0+0=6$.

$\det(A)=6\ne0$: la matriz tiene inversa. Los ceros te han ahorrado cuentas, sin cambiar el método.

La inversa deshace una matriz

Un lote pequeño lleva un cuaderno; un lote grande lleva dos cuadernos y una carpeta. Si al abrir los lotes cuentas 3 cuadernos y 1 carpeta, la carpeta revela que había un lote grande. Sus dos cuadernos dejan uno restante: había también un lote pequeño. Has averiguado cuántos lotes había mirando los cuadernos y carpetas que contenían.

La matriz $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ convierte «lotes pequeños, lotes grandes» en «cuadernos, carpetas». Para volver atrás usamos $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}$: resta dos veces el número de carpetas al de cuadernos y conserva el de carpetas. Esa tabla que deshace la primera se llama inversa.

Si aplicas $A$ y su inversa seguidas a $(1,1)$, vuelves a $(1,1)$; también volverías a $(4,7)$ si esos fueran los dos números que habías puesto. Por eso su producto es $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$, la matriz identidad: devuelve cada número sin mezclarlo con el otro. En el examen, la inversa de una matriz cuadrada existe si su determinante no es cero. Para dos filas usa la fórmula. Para más filas, coloca $A$ e $I$ una al lado de la otra, con $I$ a la derecha: $(A|I)$. La barra solo separa ambas partes. Haz las restas y multiplicaciones de filas del método de Gauss en las dos partes de la tabla, incluidos los números de $I$; cuando la parte izquierda sea $I$, la derecha será la inversa: $(I|A^{-1})$.

Prueba con un ejemplo pequeño

Con $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$, cada lote grande incluye dos cuadernos y una carpeta. ¿Por qué aparece $-2$ en la inversa? Averigua los lotes al contar 3 cuadernos y 1 carpeta.

1. Cada carpeta pertenece a un lote grande con dos cuadernos. Resta esos cuadernos del total: $3-2\cdot1=1$. Queda un cuaderno que debe venir de un lote pequeño.
2. La carpeta indica un lote grande: recuperas $(1,1)$. La inversa hace ambas cuentas a la vez: $A^{-1}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot3-2\cdot1\\0\cdot3+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$.
3. Comprueba el contenido de esos lotes: $A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot1\\0\cdot1+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$. Vuelves a contar los mismos cuadernos y carpetas.
4. Comprueba también las dos tablas: $AA^{-1}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot0&1\cdot(-2)+2\cdot1\\0\cdot1+1\cdot0&0\cdot(-2)+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I$. El producto devuelve cada número original.

El $-2$ retira los cuadernos que ya pertenecían a los lotes grandes; no significa que haya lotes negativos.

Ver un uso cotidiano: Girar una marca de una foto y devolverla a su sitio