Probabilidad

«Sabiendo que»: elegir el grupo correcto para dividir

En una clase hay 30 personas. 12 hacen deporte y 5 de esas 12 estudian música. Entre toda la clase, hacen las dos cosas 5 de 30. Entre quienes hacen deporte, estudian música 5 de 12.

Si sabes que la persona elegida hace deporte, la pregunta se responde con $5/12$: las otras 18 personas ya no son candidatas. Se llama probabilidad condicionada porque el dato conocido cambia el grupo en el que calculas.

Cambiar el orden cambia la pregunta. «Hace deporte sabiendo que estudia música» se calcula entre quienes estudian música. Para responder necesitas saber cuántos son en total; 5/12 no sirve solo por invertir las palabras.

Prueba con un ejemplo pequeño

Hay 30 personas, 12 hacen deporte y 5 de ellas estudian música. Sabes que la persona elegida hace deporte. ¿Qué probabilidad hay de que estudie música?

1. «Sabes que hace deporte» fija el grupo de candidatos: son las 12 personas que hacen deporte, en vez de las 30 de la clase. Llama $M$ a estudiar música y $D$ a hacer deporte. La pregunta es música dentro de deporte: $P(M\mid D)$.
2. De esas 12, estudian música 5. Por tanto $P(M\mid D)=5/12$. El número de abajo es el tamaño del grupo donde estamos eligiendo.
3. Si los datos vinieran como probabilidades sobre toda la clase, usarías $P(M\cap D)=5/30$ y $P(D)=12/30$. La fórmula da $(5/30)/(12/30)=5/12$: compara esos mismos 5 con esos mismos 12.
4. $5/30$ cuenta a quienes hacen ambas cosas entre toda la clase. Responde a otra pregunta porque no usa el dato «ya sabemos que hace deporte».

$P(M\mid D)=5/12$.

Ver un uso cotidiano: Leer «entre las mujeres» en un archivo histórico

Probabilidad total: reunir los resultados de varios grupos

Una máquina $A$ produce el 60 % de las piezas y $B$ el 40 %. Son defectuosas el 10 % de las de $A$ y el 30 % de las de $B$. Para visualizarlo, imagina 100 piezas: 60 de $A$, de las que 6 tendrían defecto; 40 de $B$, de las que 12 tendrían defecto.

Sobre esas 100 piezas, $A$ aporta $60\cdot0{,}10=6$ defectuosas y $B$ aporta $40\cdot0{,}30=12$. Se suman porque ninguna pieza viene de las dos máquinas: $(6+12)/100=18/100=0{,}18$. La probabilidad total hace ese mismo recuento con probabilidades: $0{,}60\cdot0{,}10+0{,}40\cdot0{,}30$.

Los grupos deben incluir todas las piezas, sin contar ninguna en dos grupos. No hagas el promedio simple de 10 % y 30 %: $A$ y $B$ no producen la misma cantidad. Cada porcentaje de defectos se aplica solo a las piezas de su propia máquina.

Prueba con un ejemplo pequeño

$A$ produce el 60 %, con un 10 % de defectos; $B$ produce el 40 %, con un 30 %. ¿Qué probabilidad hay de elegir una defectuosa?

1. Preguntan por una pieza elegida de toda la producción; no sabemos su máquina. Debemos contar defectuosas de $A$ y de $B$. Los porcentajes se escriben como probabilidades dividiendo entre 100: $60/100=0{,}60$, $10/100=0{,}10$, y lo mismo para $B$.
2. $A$ produce el 60 % del total y, dentro de esa parte, un 10 % tiene defecto. Multiplica para encontrar las que son de $A$ y defectuosas: $0{,}60\cdot0{,}10=0{,}06$ del total.
3. Haz lo mismo con $B$: $0{,}40\cdot0{,}30=0{,}12$ del total. Ninguna pieza está en las dos máquinas.
4. Reúne ambas partes: $P(D)=0{,}06+0{,}12=0{,}18$. Para expresarlo como porcentaje, $0{,}18\cdot100=18$ %.

Probabilidad 0,18, es decir, 18 %.

Ver un uso cotidiano: Leer dos porcentajes en una noticia

«Sabiendo que»: elegir el grupo correcto para dividir

En una clase hay 30 personas. 12 hacen deporte y 5 de esas 12 estudian música. Entre toda la clase, hacen las dos cosas 5 de 30. Entre quienes hacen deporte, estudian música 5 de 12.

Si sabes que la persona elegida hace deporte, la pregunta se responde con $5/12$: las otras 18 personas ya no son candidatas. Se llama probabilidad condicionada porque el dato conocido cambia el grupo en el que calculas.

Cambiar el orden cambia la pregunta. «Hace deporte sabiendo que estudia música» se calcula entre quienes estudian música. Para responder necesitas saber cuántos son en total; 5/12 no sirve solo por invertir las palabras.

Prueba con un ejemplo pequeño

Hay 30 personas, 12 hacen deporte y 5 de ellas estudian música. Sabes que la persona elegida hace deporte. ¿Qué probabilidad hay de que estudie música?

1. «Sabes que hace deporte» fija el grupo de candidatos: son las 12 personas que hacen deporte, en vez de las 30 de la clase. Llama $M$ a estudiar música y $D$ a hacer deporte. La pregunta es música dentro de deporte: $P(M\mid D)$.
2. De esas 12, estudian música 5. Por tanto $P(M\mid D)=5/12$. El número de abajo es el tamaño del grupo donde estamos eligiendo.
3. Si los datos vinieran como probabilidades sobre toda la clase, usarías $P(M\cap D)=5/30$ y $P(D)=12/30$. La fórmula da $(5/30)/(12/30)=5/12$: compara esos mismos 5 con esos mismos 12.
4. $5/30$ cuenta a quienes hacen ambas cosas entre toda la clase. Responde a otra pregunta porque no usa el dato «ya sabemos que hace deporte».

$P(M\mid D)=5/12$.

Ver un uso cotidiano: Leer «entre las mujeres» en un archivo histórico

«Sabiendo que»: elegir el grupo correcto para dividir

En una clase hay 30 personas. 12 hacen deporte y 5 de esas 12 estudian música. Entre toda la clase, hacen las dos cosas 5 de 30. Entre quienes hacen deporte, estudian música 5 de 12.

Si sabes que la persona elegida hace deporte, la pregunta se responde con $5/12$: las otras 18 personas ya no son candidatas. Se llama probabilidad condicionada porque el dato conocido cambia el grupo en el que calculas.

Cambiar el orden cambia la pregunta. «Hace deporte sabiendo que estudia música» se calcula entre quienes estudian música. Para responder necesitas saber cuántos son en total; 5/12 no sirve solo por invertir las palabras.

Prueba con un ejemplo pequeño

Hay 30 personas, 12 hacen deporte y 5 de ellas estudian música. Sabes que la persona elegida hace deporte. ¿Qué probabilidad hay de que estudie música?

1. «Sabes que hace deporte» fija el grupo de candidatos: son las 12 personas que hacen deporte, en vez de las 30 de la clase. Llama $M$ a estudiar música y $D$ a hacer deporte. La pregunta es música dentro de deporte: $P(M\mid D)$.
2. De esas 12, estudian música 5. Por tanto $P(M\mid D)=5/12$. El número de abajo es el tamaño del grupo donde estamos eligiendo.
3. Si los datos vinieran como probabilidades sobre toda la clase, usarías $P(M\cap D)=5/30$ y $P(D)=12/30$. La fórmula da $(5/30)/(12/30)=5/12$: compara esos mismos 5 con esos mismos 12.
4. $5/30$ cuenta a quienes hacen ambas cosas entre toda la clase. Responde a otra pregunta porque no usa el dato «ya sabemos que hace deporte».

$P(M\mid D)=5/12$.

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Independencia: el primer resultado no cambia el siguiente

Lanzas una moneda y un dado de forma independiente. La probabilidad de 6 en el dado es 1/6. Si sabes que la moneda dio cara, sigue siendo 1/6: esa información no cambia la del dado.

Eso es independencia. Para cara y 6 puedes multiplicar $1/2$ por $1/6$. Si el primer resultado cambiara el segundo, tendrías que multiplicar por la probabilidad que corresponde después de conocer el primero.

«Independientes» no significa «no pueden ocurrir juntos». En un mismo lanzamiento de dado, si sabes que salió 1, ya no puede haber salido 2. Son incompatibles: no pasan juntos, y saber uno cambia la probabilidad del otro.

Prueba con un ejemplo pequeño

Moneda y dado equilibrados, lanzados de forma independiente. ¿Probabilidad de cara y 6?

1. «Cara y 6» exige los dos resultados, no cualquiera de ellos. Llama $A$ a cara y $B$ a 6: buscamos $P(A\cap B)$.
2. La moneda equilibrada da $P(A)=1/2$ y el dado equilibrado, $P(B)=1/6$. El enunciado asegura independencia: incluso después de saber que salió cara, la probabilidad de 6 sigue siendo $1/6$.
3. La probabilidad de cumplir ambos pasos es $P(A)P(B\mid A)$. Aquí la segunda no cambia, así que $(1/2)(1/6)=1/12$.
4. Puedes comprobarlo contando: dos resultados de la moneda por seis del dado dan $2\cdot6=12$ parejas igual de probables; solo cara-6 cumple ambas condiciones.

Probabilidad $1/12$.

Independencia: el primer resultado no cambia el siguiente

Lanzas una moneda y un dado de forma independiente. La probabilidad de 6 en el dado es 1/6. Si sabes que la moneda dio cara, sigue siendo 1/6: esa información no cambia la del dado.

Eso es independencia. Para cara y 6 puedes multiplicar $1/2$ por $1/6$. Si el primer resultado cambiara el segundo, tendrías que multiplicar por la probabilidad que corresponde después de conocer el primero.

«Independientes» no significa «no pueden ocurrir juntos». En un mismo lanzamiento de dado, si sabes que salió 1, ya no puede haber salido 2. Son incompatibles: no pasan juntos, y saber uno cambia la probabilidad del otro.

Prueba con un ejemplo pequeño

Moneda y dado equilibrados, lanzados de forma independiente. ¿Probabilidad de cara y 6?

1. «Cara y 6» exige los dos resultados, no cualquiera de ellos. Llama $A$ a cara y $B$ a 6: buscamos $P(A\cap B)$.
2. La moneda equilibrada da $P(A)=1/2$ y el dado equilibrado, $P(B)=1/6$. El enunciado asegura independencia: incluso después de saber que salió cara, la probabilidad de 6 sigue siendo $1/6$.
3. La probabilidad de cumplir ambos pasos es $P(A)P(B\mid A)$. Aquí la segunda no cambia, así que $(1/2)(1/6)=1/12$.
4. Puedes comprobarlo contando: dos resultados de la moneda por seis del dado dan $2\cdot6=12$ parejas igual de probables; solo cara-6 cumple ambas condiciones.

Probabilidad $1/12$.

Independencia: el primer resultado no cambia el siguiente

Lanzas una moneda y un dado de forma independiente. La probabilidad de 6 en el dado es 1/6. Si sabes que la moneda dio cara, sigue siendo 1/6: esa información no cambia la del dado.

Eso es independencia. Para cara y 6 puedes multiplicar $1/2$ por $1/6$. Si el primer resultado cambiara el segundo, tendrías que multiplicar por la probabilidad que corresponde después de conocer el primero.

«Independientes» no significa «no pueden ocurrir juntos». En un mismo lanzamiento de dado, si sabes que salió 1, ya no puede haber salido 2. Son incompatibles: no pasan juntos, y saber uno cambia la probabilidad del otro.

Prueba con un ejemplo pequeño

Moneda y dado equilibrados, lanzados de forma independiente. ¿Probabilidad de cara y 6?

1. «Cara y 6» exige los dos resultados, no cualquiera de ellos. Llama $A$ a cara y $B$ a 6: buscamos $P(A\cap B)$.
2. La moneda equilibrada da $P(A)=1/2$ y el dado equilibrado, $P(B)=1/6$. El enunciado asegura independencia: incluso después de saber que salió cara, la probabilidad de 6 sigue siendo $1/6$.
3. La probabilidad de cumplir ambos pasos es $P(A)P(B\mid A)$. Aquí la segunda no cambia, así que $(1/2)(1/6)=1/12$.
4. Puedes comprobarlo contando: dos resultados de la moneda por seis del dado dan $2\cdot6=12$ parejas igual de probables; solo cara-6 cumple ambas condiciones.

Probabilidad $1/12$.

Probabilidad total: reunir los resultados de varios grupos

Una máquina $A$ produce el 60 % de las piezas y $B$ el 40 %. Son defectuosas el 10 % de las de $A$ y el 30 % de las de $B$. Para visualizarlo, imagina 100 piezas: 60 de $A$, de las que 6 tendrían defecto; 40 de $B$, de las que 12 tendrían defecto.

Sobre esas 100 piezas, $A$ aporta $60\cdot0{,}10=6$ defectuosas y $B$ aporta $40\cdot0{,}30=12$. Se suman porque ninguna pieza viene de las dos máquinas: $(6+12)/100=18/100=0{,}18$. La probabilidad total hace ese mismo recuento con probabilidades: $0{,}60\cdot0{,}10+0{,}40\cdot0{,}30$.

Los grupos deben incluir todas las piezas, sin contar ninguna en dos grupos. No hagas el promedio simple de 10 % y 30 %: $A$ y $B$ no producen la misma cantidad. Cada porcentaje de defectos se aplica solo a las piezas de su propia máquina.

Prueba con un ejemplo pequeño

$A$ produce el 60 %, con un 10 % de defectos; $B$ produce el 40 %, con un 30 %. ¿Qué probabilidad hay de elegir una defectuosa?

1. Preguntan por una pieza elegida de toda la producción; no sabemos su máquina. Debemos contar defectuosas de $A$ y de $B$. Los porcentajes se escriben como probabilidades dividiendo entre 100: $60/100=0{,}60$, $10/100=0{,}10$, y lo mismo para $B$.
2. $A$ produce el 60 % del total y, dentro de esa parte, un 10 % tiene defecto. Multiplica para encontrar las que son de $A$ y defectuosas: $0{,}60\cdot0{,}10=0{,}06$ del total.
3. Haz lo mismo con $B$: $0{,}40\cdot0{,}30=0{,}12$ del total. Ninguna pieza está en las dos máquinas.
4. Reúne ambas partes: $P(D)=0{,}06+0{,}12=0{,}18$. Para expresarlo como porcentaje, $0{,}18\cdot100=18$ %.

Probabilidad 0,18, es decir, 18 %.

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Probabilidad total: reunir los resultados de varios grupos

Una máquina $A$ produce el 60 % de las piezas y $B$ el 40 %. Son defectuosas el 10 % de las de $A$ y el 30 % de las de $B$. Para visualizarlo, imagina 100 piezas: 60 de $A$, de las que 6 tendrían defecto; 40 de $B$, de las que 12 tendrían defecto.

Sobre esas 100 piezas, $A$ aporta $60\cdot0{,}10=6$ defectuosas y $B$ aporta $40\cdot0{,}30=12$. Se suman porque ninguna pieza viene de las dos máquinas: $(6+12)/100=18/100=0{,}18$. La probabilidad total hace ese mismo recuento con probabilidades: $0{,}60\cdot0{,}10+0{,}40\cdot0{,}30$.

Los grupos deben incluir todas las piezas, sin contar ninguna en dos grupos. No hagas el promedio simple de 10 % y 30 %: $A$ y $B$ no producen la misma cantidad. Cada porcentaje de defectos se aplica solo a las piezas de su propia máquina.

Prueba con un ejemplo pequeño

$A$ produce el 60 %, con un 10 % de defectos; $B$ produce el 40 %, con un 30 %. ¿Qué probabilidad hay de elegir una defectuosa?

1. Preguntan por una pieza elegida de toda la producción; no sabemos su máquina. Debemos contar defectuosas de $A$ y de $B$. Los porcentajes se escriben como probabilidades dividiendo entre 100: $60/100=0{,}60$, $10/100=0{,}10$, y lo mismo para $B$.
2. $A$ produce el 60 % del total y, dentro de esa parte, un 10 % tiene defecto. Multiplica para encontrar las que son de $A$ y defectuosas: $0{,}60\cdot0{,}10=0{,}06$ del total.
3. Haz lo mismo con $B$: $0{,}40\cdot0{,}30=0{,}12$ del total. Ninguna pieza está en las dos máquinas.
4. Reúne ambas partes: $P(D)=0{,}06+0{,}12=0{,}18$. Para expresarlo como porcentaje, $0{,}18\cdot100=18$ %.

Probabilidad 0,18, es decir, 18 %.

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Probabilidad total: reunir los resultados de varios grupos

Una máquina $A$ produce el 60 % de las piezas y $B$ el 40 %. Son defectuosas el 10 % de las de $A$ y el 30 % de las de $B$. Para visualizarlo, imagina 100 piezas: 60 de $A$, de las que 6 tendrían defecto; 40 de $B$, de las que 12 tendrían defecto.

Sobre esas 100 piezas, $A$ aporta $60\cdot0{,}10=6$ defectuosas y $B$ aporta $40\cdot0{,}30=12$. Se suman porque ninguna pieza viene de las dos máquinas: $(6+12)/100=18/100=0{,}18$. La probabilidad total hace ese mismo recuento con probabilidades: $0{,}60\cdot0{,}10+0{,}40\cdot0{,}30$.

Los grupos deben incluir todas las piezas, sin contar ninguna en dos grupos. No hagas el promedio simple de 10 % y 30 %: $A$ y $B$ no producen la misma cantidad. Cada porcentaje de defectos se aplica solo a las piezas de su propia máquina.

Prueba con un ejemplo pequeño

$A$ produce el 60 %, con un 10 % de defectos; $B$ produce el 40 %, con un 30 %. ¿Qué probabilidad hay de elegir una defectuosa?

1. Preguntan por una pieza elegida de toda la producción; no sabemos su máquina. Debemos contar defectuosas de $A$ y de $B$. Los porcentajes se escriben como probabilidades dividiendo entre 100: $60/100=0{,}60$, $10/100=0{,}10$, y lo mismo para $B$.
2. $A$ produce el 60 % del total y, dentro de esa parte, un 10 % tiene defecto. Multiplica para encontrar las que son de $A$ y defectuosas: $0{,}60\cdot0{,}10=0{,}06$ del total.
3. Haz lo mismo con $B$: $0{,}40\cdot0{,}30=0{,}12$ del total. Ninguna pieza está en las dos máquinas.
4. Reúne ambas partes: $P(D)=0{,}06+0{,}12=0{,}18$. Para expresarlo como porcentaje, $0{,}18\cdot100=18$ %.

Probabilidad 0,18, es decir, 18 %.

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