Programación lineal

Definir las cantidades, las restricciones y el objetivo

La pregunta suele pedir «cuánto fabricar para obtener el mayor beneficio» o «qué comprar para gastar lo mínimo». Llama $x$ e $y$ a las dos cantidades que puedes elegir e indica sus unidades. Si son litros, cada coordenada representa litros; si son paquetes completos, representa un número entero de paquetes.

Supón que cada paquete pequeño necesita 2 kg de arroz y cada grande 3 kg. Para $x$ pequeños se gastan $2x$ kg; para $y$ grandes, $3y$ kg. Como ambos usan el mismo almacén, el consumo total es $2x+3y$. Si hay 12 kg, la restricción es $2x+3y\le12$: se permite gastar menos, pero no más.

«Al menos» da una cota inferior, como $x+y\ge3$; «como máximo» da una superior, como $x\le4$. Si $x$ e $y$ cuentan productos, no pueden ser negativas: incluye $x\ge0$ e $y\ge0$. Si el enunciado da directamente un recinto del plano, conserva sus restricciones: las coordenadas pueden ser negativas y no se añaden cotas que no estén impuestas. Una igualdad se usa solo cuando el dato exige una cantidad exacta.

La función objetivo mide lo que quieres mejorar. Si una unidad del primer producto deja 3 € y una del segundo 2 €, el beneficio es $F(x,y)=3x+2y$. Los factores 3 y 2 son euros por unidad; al multiplicar por las cantidades obtienes euros. Esta función compara combinaciones y no es otra limitación de materiales.

Prueba con un ejemplo pequeño

Hay 12 kg de arroz. Cada paquete pequeño usa 2 kg y cada grande 3 kg. ¿Cómo expresas que no se puede gastar más de lo disponible?

1. Define $x$ como pequeños e $y$ como grandes. Los consumos son $2x$ y $3y$ kg.
2. Suma los consumos: $2x+3y$. Compáralos con los 12 kg: $2x+3y\le12$.
3. Añade $x\ge0$, $y\ge0$. Si son paquetes completos, después habrá que buscar cantidades enteras.

Las restricciones son $2x+3y\le12$, $x\ge0$ e $y\ge0$.

Ver un uso cotidiano: Elegir dos tipos de lotes

Definir las cantidades, las restricciones y el objetivo

La pregunta suele pedir «cuánto fabricar para obtener el mayor beneficio» o «qué comprar para gastar lo mínimo». Llama $x$ e $y$ a las dos cantidades que puedes elegir e indica sus unidades. Si son litros, cada coordenada representa litros; si son paquetes completos, representa un número entero de paquetes.

Supón que cada paquete pequeño necesita 2 kg de arroz y cada grande 3 kg. Para $x$ pequeños se gastan $2x$ kg; para $y$ grandes, $3y$ kg. Como ambos usan el mismo almacén, el consumo total es $2x+3y$. Si hay 12 kg, la restricción es $2x+3y\le12$: se permite gastar menos, pero no más.

«Al menos» da una cota inferior, como $x+y\ge3$; «como máximo» da una superior, como $x\le4$. Si $x$ e $y$ cuentan productos, no pueden ser negativas: incluye $x\ge0$ e $y\ge0$. Si el enunciado da directamente un recinto del plano, conserva sus restricciones: las coordenadas pueden ser negativas y no se añaden cotas que no estén impuestas. Una igualdad se usa solo cuando el dato exige una cantidad exacta.

La función objetivo mide lo que quieres mejorar. Si una unidad del primer producto deja 3 € y una del segundo 2 €, el beneficio es $F(x,y)=3x+2y$. Los factores 3 y 2 son euros por unidad; al multiplicar por las cantidades obtienes euros. Esta función compara combinaciones y no es otra limitación de materiales.

Prueba con un ejemplo pequeño

Hay 12 kg de arroz. Cada paquete pequeño usa 2 kg y cada grande 3 kg. ¿Cómo expresas que no se puede gastar más de lo disponible?

1. Define $x$ como pequeños e $y$ como grandes. Los consumos son $2x$ y $3y$ kg.
2. Suma los consumos: $2x+3y$. Compáralos con los 12 kg: $2x+3y\le12$.
3. Añade $x\ge0$, $y\ge0$. Si son paquetes completos, después habrá que buscar cantidades enteras.

Las restricciones son $2x+3y\le12$, $x\ge0$ e $y\ge0$.

Ver un uso cotidiano: Elegir dos tipos de lotes

Definir las cantidades, las restricciones y el objetivo

La pregunta suele pedir «cuánto fabricar para obtener el mayor beneficio» o «qué comprar para gastar lo mínimo». Llama $x$ e $y$ a las dos cantidades que puedes elegir e indica sus unidades. Si son litros, cada coordenada representa litros; si son paquetes completos, representa un número entero de paquetes.

Supón que cada paquete pequeño necesita 2 kg de arroz y cada grande 3 kg. Para $x$ pequeños se gastan $2x$ kg; para $y$ grandes, $3y$ kg. Como ambos usan el mismo almacén, el consumo total es $2x+3y$. Si hay 12 kg, la restricción es $2x+3y\le12$: se permite gastar menos, pero no más.

«Al menos» da una cota inferior, como $x+y\ge3$; «como máximo» da una superior, como $x\le4$. Si $x$ e $y$ cuentan productos, no pueden ser negativas: incluye $x\ge0$ e $y\ge0$. Si el enunciado da directamente un recinto del plano, conserva sus restricciones: las coordenadas pueden ser negativas y no se añaden cotas que no estén impuestas. Una igualdad se usa solo cuando el dato exige una cantidad exacta.

La función objetivo mide lo que quieres mejorar. Si una unidad del primer producto deja 3 € y una del segundo 2 €, el beneficio es $F(x,y)=3x+2y$. Los factores 3 y 2 son euros por unidad; al multiplicar por las cantidades obtienes euros. Esta función compara combinaciones y no es otra limitación de materiales.

Prueba con un ejemplo pequeño

Hay 12 kg de arroz. Cada paquete pequeño usa 2 kg y cada grande 3 kg. ¿Cómo expresas que no se puede gastar más de lo disponible?

1. Define $x$ como pequeños e $y$ como grandes. Los consumos son $2x$ y $3y$ kg.
2. Suma los consumos: $2x+3y$. Compáralos con los 12 kg: $2x+3y\le12$.
3. Añade $x\ge0$, $y\ge0$. Si son paquetes completos, después habrá que buscar cantidades enteras.

Las restricciones son $2x+3y\le12$, $x\ge0$ e $y\ge0$.

Ver un uso cotidiano: Elegir dos tipos de lotes

Elegir qué lado de una recta cumple la inecuación

La igualdad $x+y=8$ dibuja una recta. Sus puntos gastan exactamente 8 unidades de un recurso. La desigualdad $x+y\le8$ incluye también las combinaciones que gastan menos: ocupa un lado entero de la recta. Ese lado se llama semiplano.

Para dibujar la frontera, calcula dos puntos. Pon $x=0$: $0+y=8$ da $(0,8)$. Pon $y=0$: $x+0=8$ da $(8,0)$. Une esos puntos y prolonga la recta; todavía falta decidir qué lado conservar.

Elige un punto que no esté en la recta. El origen $(0,0)$ suele ser cómodo: $0+0\le8$ es cierto. Por eso conserva el lado que contiene el origen. Si la desigualdad fuera $x+y\ge8$, esa comprobación sería falsa y conservarías el otro lado. Si la frontera pasa por el origen, escoge otro punto.

Los signos $\le$ y $\ge$ incluyen la frontera. Los signos $<$ y $>$ la excluyen. En los problemas habituales de recursos se admite usar exactamente lo disponible, por lo que el borde está incluido.

Prueba con un ejemplo pequeño

Dibuja el lado que cumple $x+y\le8$ y comprueba $(2,3)$ y $(6,4)$.

1. La frontera pasa por $(0,8)$ y $(8,0)$. El origen cumple $0+0\le8$, así que se conserva su lado.
2. En $(2,3)$, $2+3=5\le8$: está en el lado permitido. En $(6,4)$, $6+4=10>8$: queda fuera.
3. Un punto como $(4,4)$ está en la frontera y también pertenece, porque $4+4=8$ y el signo incluye la igualdad.

Se conserva el lado de la recta que contiene el origen, incluido el borde.

Elegir qué lado de una recta cumple la inecuación

La igualdad $x+y=8$ dibuja una recta. Sus puntos gastan exactamente 8 unidades de un recurso. La desigualdad $x+y\le8$ incluye también las combinaciones que gastan menos: ocupa un lado entero de la recta. Ese lado se llama semiplano.

Para dibujar la frontera, calcula dos puntos. Pon $x=0$: $0+y=8$ da $(0,8)$. Pon $y=0$: $x+0=8$ da $(8,0)$. Une esos puntos y prolonga la recta; todavía falta decidir qué lado conservar.

Elige un punto que no esté en la recta. El origen $(0,0)$ suele ser cómodo: $0+0\le8$ es cierto. Por eso conserva el lado que contiene el origen. Si la desigualdad fuera $x+y\ge8$, esa comprobación sería falsa y conservarías el otro lado. Si la frontera pasa por el origen, escoge otro punto.

Los signos $\le$ y $\ge$ incluyen la frontera. Los signos $<$ y $>$ la excluyen. En los problemas habituales de recursos se admite usar exactamente lo disponible, por lo que el borde está incluido.

Prueba con un ejemplo pequeño

Dibuja el lado que cumple $x+y\le8$ y comprueba $(2,3)$ y $(6,4)$.

1. La frontera pasa por $(0,8)$ y $(8,0)$. El origen cumple $0+0\le8$, así que se conserva su lado.
2. En $(2,3)$, $2+3=5\le8$: está en el lado permitido. En $(6,4)$, $6+4=10>8$: queda fuera.
3. Un punto como $(4,4)$ está en la frontera y también pertenece, porque $4+4=8$ y el signo incluye la igualdad.

Se conserva el lado de la recta que contiene el origen, incluido el borde.

Elegir qué lado de una recta cumple la inecuación

La igualdad $x+y=8$ dibuja una recta. Sus puntos gastan exactamente 8 unidades de un recurso. La desigualdad $x+y\le8$ incluye también las combinaciones que gastan menos: ocupa un lado entero de la recta. Ese lado se llama semiplano.

Para dibujar la frontera, calcula dos puntos. Pon $x=0$: $0+y=8$ da $(0,8)$. Pon $y=0$: $x+0=8$ da $(8,0)$. Une esos puntos y prolonga la recta; todavía falta decidir qué lado conservar.

Elige un punto que no esté en la recta. El origen $(0,0)$ suele ser cómodo: $0+0\le8$ es cierto. Por eso conserva el lado que contiene el origen. Si la desigualdad fuera $x+y\ge8$, esa comprobación sería falsa y conservarías el otro lado. Si la frontera pasa por el origen, escoge otro punto.

Los signos $\le$ y $\ge$ incluyen la frontera. Los signos $<$ y $>$ la excluyen. En los problemas habituales de recursos se admite usar exactamente lo disponible, por lo que el borde está incluido.

Prueba con un ejemplo pequeño

Dibuja el lado que cumple $x+y\le8$ y comprueba $(2,3)$ y $(6,4)$.

1. La frontera pasa por $(0,8)$ y $(8,0)$. El origen cumple $0+0\le8$, así que se conserva su lado.
2. En $(2,3)$, $2+3=5\le8$: está en el lado permitido. En $(6,4)$, $6+4=10>8$: queda fuera.
3. Un punto como $(4,4)$ está en la frontera y también pertenece, porque $4+4=8$ y el signo incluye la igualdad.

Se conserva el lado de la recta que contiene el origen, incluido el borde.

Elegir qué lado de una recta cumple la inecuación

La igualdad $x+y=8$ dibuja una recta. Sus puntos gastan exactamente 8 unidades de un recurso. La desigualdad $x+y\le8$ incluye también las combinaciones que gastan menos: ocupa un lado entero de la recta. Ese lado se llama semiplano.

Para dibujar la frontera, calcula dos puntos. Pon $x=0$: $0+y=8$ da $(0,8)$. Pon $y=0$: $x+0=8$ da $(8,0)$. Une esos puntos y prolonga la recta; todavía falta decidir qué lado conservar.

Elige un punto que no esté en la recta. El origen $(0,0)$ suele ser cómodo: $0+0\le8$ es cierto. Por eso conserva el lado que contiene el origen. Si la desigualdad fuera $x+y\ge8$, esa comprobación sería falsa y conservarías el otro lado. Si la frontera pasa por el origen, escoge otro punto.

Los signos $\le$ y $\ge$ incluyen la frontera. Los signos $<$ y $>$ la excluyen. En los problemas habituales de recursos se admite usar exactamente lo disponible, por lo que el borde está incluido.

Prueba con un ejemplo pequeño

Dibuja el lado que cumple $x+y\le8$ y comprueba $(2,3)$ y $(6,4)$.

1. La frontera pasa por $(0,8)$ y $(8,0)$. El origen cumple $0+0\le8$, así que se conserva su lado.
2. En $(2,3)$, $2+3=5\le8$: está en el lado permitido. En $(6,4)$, $6+4=10>8$: queda fuera.
3. Un punto como $(4,4)$ está en la frontera y también pertenece, porque $4+4=8$ y el signo incluye la igualdad.

Se conserva el lado de la recta que contiene el origen, incluido el borde.

Elegir qué lado de una recta cumple la inecuación

La igualdad $x+y=8$ dibuja una recta. Sus puntos gastan exactamente 8 unidades de un recurso. La desigualdad $x+y\le8$ incluye también las combinaciones que gastan menos: ocupa un lado entero de la recta. Ese lado se llama semiplano.

Para dibujar la frontera, calcula dos puntos. Pon $x=0$: $0+y=8$ da $(0,8)$. Pon $y=0$: $x+0=8$ da $(8,0)$. Une esos puntos y prolonga la recta; todavía falta decidir qué lado conservar.

Elige un punto que no esté en la recta. El origen $(0,0)$ suele ser cómodo: $0+0\le8$ es cierto. Por eso conserva el lado que contiene el origen. Si la desigualdad fuera $x+y\ge8$, esa comprobación sería falsa y conservarías el otro lado. Si la frontera pasa por el origen, escoge otro punto.

Los signos $\le$ y $\ge$ incluyen la frontera. Los signos $<$ y $>$ la excluyen. En los problemas habituales de recursos se admite usar exactamente lo disponible, por lo que el borde está incluido.

Prueba con un ejemplo pequeño

Dibuja el lado que cumple $x+y\le8$ y comprueba $(2,3)$ y $(6,4)$.

1. La frontera pasa por $(0,8)$ y $(8,0)$. El origen cumple $0+0\le8$, así que se conserva su lado.
2. En $(2,3)$, $2+3=5\le8$: está en el lado permitido. En $(6,4)$, $6+4=10>8$: queda fuera.
3. Un punto como $(4,4)$ está en la frontera y también pertenece, porque $4+4=8$ y el signo incluye la igualdad.

Se conserva el lado de la recta que contiene el origen, incluido el borde.

Quedarse con los puntos que cumplen todo

Una combinación puede respetar un recurso y superar otro. La región factible reúne los puntos que cumplen todas las restricciones a la vez. Se obtiene superponiendo los semiplanos y conservando solo su zona común.

Considera $x\ge0$, $y\ge0$, $x\le4$, $y\le6$ y $x+y\le8$. Las primeras dos condiciones te llevan al primer cuadrante; las dos siguientes forman un rectángulo de anchura 4 y altura 6. La última corta la esquina donde ambas cantidades serían demasiado grandes.

Mira el dibujo del ejemplo: la zona sombreada contiene las combinaciones permitidas. Estar dentro de uno de los semiplanos no basta. Por ejemplo, $(4,6)$ respeta las dos cotas individuales, pero suma 10 y no cumple $x+y\le8$.

Puede quedar una región acotada, una región que continúe sin límite o ninguna región. Si las restricciones se contradicen, no existe ninguna combinación factible y no se puede optimizar un objetivo sobre ella.

Prueba con un ejemplo pequeño

Con $x,y\ge0$, $x\le4$, $y\le6$ y $x+y\le8$, comprueba si $(4,4)$ y $(4,6)$ son factibles.

1. Para $(4,4)$: las cantidades son no negativas, $4\le4$, $4\le6$ y $4+4=8\le8$. Cumple todo.
2. Para $(4,6)$: cumple las cotas individuales, pero $4+6=10>8$. Incumple la restricción conjunta.
3. El punto $(4,4)$ está en el borde incluido. El punto $(4,6)$ queda fuera de la zona sombreada.

$(4,4)$ es factible y $(4,6)$ no lo es.

Quedarse con los puntos que cumplen todo

Una combinación puede respetar un recurso y superar otro. La región factible reúne los puntos que cumplen todas las restricciones a la vez. Se obtiene superponiendo los semiplanos y conservando solo su zona común.

Considera $x\ge0$, $y\ge0$, $x\le4$, $y\le6$ y $x+y\le8$. Las primeras dos condiciones te llevan al primer cuadrante; las dos siguientes forman un rectángulo de anchura 4 y altura 6. La última corta la esquina donde ambas cantidades serían demasiado grandes.

Mira el dibujo del ejemplo: la zona sombreada contiene las combinaciones permitidas. Estar dentro de uno de los semiplanos no basta. Por ejemplo, $(4,6)$ respeta las dos cotas individuales, pero suma 10 y no cumple $x+y\le8$.

Puede quedar una región acotada, una región que continúe sin límite o ninguna región. Si las restricciones se contradicen, no existe ninguna combinación factible y no se puede optimizar un objetivo sobre ella.

Prueba con un ejemplo pequeño

Con $x,y\ge0$, $x\le4$, $y\le6$ y $x+y\le8$, comprueba si $(4,4)$ y $(4,6)$ son factibles.

1. Para $(4,4)$: las cantidades son no negativas, $4\le4$, $4\le6$ y $4+4=8\le8$. Cumple todo.
2. Para $(4,6)$: cumple las cotas individuales, pero $4+6=10>8$. Incumple la restricción conjunta.
3. El punto $(4,4)$ está en el borde incluido. El punto $(4,6)$ queda fuera de la zona sombreada.

$(4,4)$ es factible y $(4,6)$ no lo es.

Quedarse con los puntos que cumplen todo

Una combinación puede respetar un recurso y superar otro. La región factible reúne los puntos que cumplen todas las restricciones a la vez. Se obtiene superponiendo los semiplanos y conservando solo su zona común.

Considera $x\ge0$, $y\ge0$, $x\le4$, $y\le6$ y $x+y\le8$. Las primeras dos condiciones te llevan al primer cuadrante; las dos siguientes forman un rectángulo de anchura 4 y altura 6. La última corta la esquina donde ambas cantidades serían demasiado grandes.

Mira el dibujo del ejemplo: la zona sombreada contiene las combinaciones permitidas. Estar dentro de uno de los semiplanos no basta. Por ejemplo, $(4,6)$ respeta las dos cotas individuales, pero suma 10 y no cumple $x+y\le8$.

Puede quedar una región acotada, una región que continúe sin límite o ninguna región. Si las restricciones se contradicen, no existe ninguna combinación factible y no se puede optimizar un objetivo sobre ella.

Prueba con un ejemplo pequeño

Con $x,y\ge0$, $x\le4$, $y\le6$ y $x+y\le8$, comprueba si $(4,4)$ y $(4,6)$ son factibles.

1. Para $(4,4)$: las cantidades son no negativas, $4\le4$, $4\le6$ y $4+4=8\le8$. Cumple todo.
2. Para $(4,6)$: cumple las cotas individuales, pero $4+6=10>8$. Incumple la restricción conjunta.
3. El punto $(4,4)$ está en el borde incluido. El punto $(4,6)$ queda fuera de la zona sombreada.

$(4,4)$ es factible y $(4,6)$ no lo es.