Sistemas de ecuaciones

Gauss: eliminar incógnitas sin cambiar las soluciones

Un cuaderno y un bolígrafo cuestan 3 €; dos cuadernos y tres bolígrafos cuestan 8 €. Dos veces la primera compra serían dos cuadernos y dos bolígrafos, por 6 €. Al comparar con la segunda, solo queda un bolígrafo y 2 € de diferencia. Ya sabes un precio sin tantear parejas.

Con $x+y=3$ y $2x+3y=8$, queremos quitar $x$ de la segunda: multiplica ambos lados de la primera por 2, $2(x+y)=2\cdot3$, y obtén $2x+2y=6$. Resta esa ecuación completa de la segunda, en ambos lados: $(2x+3y)-(2x+2y)=8-6$, así que $y=2$. Para averiguar $x$, escribe 2 en el lugar de $y$ en $x+y=3$: $x+2=3$. Resta 2 a ambos lados, $x+2-2=3-2$, y queda $x=1$. Esta forma de averiguar los valores se llama eliminación de Gauss. Puedes recuperar la segunda ecuación original sumando dos veces la primera a $y=2$; por eso no has cambiado las soluciones.

En la tabla, $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ significa sustituir la fila 2 por esa diferencia; la fila 1 se conserva. La operación afecta también al 8 y al 3, no solo a los coeficientes. Puedes intercambiar filas, multiplicar todos los números de una fila por un mismo número distinto de cero o añadirle otra fila multiplicada por un número. El primer número distinto de cero que usas para eliminar los de debajo se llama pivote.

Prueba con un ejemplo pequeño

En $x+y=3$, $2x+3y=8$, ¿por qué restar $2F_1$ a $F_2$ deja $y$, pero no deja $x$?

1. Queremos quitar $x$ de la segunda cuenta. Allí hay $2x$ y en la primera hay $1x$, aunque no se escriba el 1: usa $2/1=2$ para multiplicar ambos lados de la primera ecuación. Obtienes $2(x+y)=2\cdot3$, es decir, $2x+2y=6$.
2. Resta esa ecuación completa: $(2x+3y)-(2x+2y)=8-6$. El signo menos cambia los dos términos del segundo paréntesis: $2x+3y-2x-2y=2$. Como $2x-2x=0$ y $3y-2y=y$, queda $y=2$.
3. Queremos averiguar $x$. En la primera ecuación, $x+y=3$, pon el 2 que acabas de obtener en lugar de $y$: $x+2=3$. Para dejar $x$ sola, resta 2 a ambos lados: $x+2-2=3-2$, luego $x=1$.
4. Comprueba ambos recibos: $1+2=3$ y $2\cdot1+3\cdot2=8$.

$(x,y)=(1,2)$. Elegiste multiplicar por 2 porque $2x-2x=0$; así la segunda cuenta ya no tiene $x$.

Ver un uso cotidiano: Averiguar los precios mirando dos recibos

Gauss: eliminar incógnitas sin cambiar las soluciones

Un cuaderno y un bolígrafo cuestan 3 €; dos cuadernos y tres bolígrafos cuestan 8 €. Dos veces la primera compra serían dos cuadernos y dos bolígrafos, por 6 €. Al comparar con la segunda, solo queda un bolígrafo y 2 € de diferencia. Ya sabes un precio sin tantear parejas.

Con $x+y=3$ y $2x+3y=8$, queremos quitar $x$ de la segunda: multiplica ambos lados de la primera por 2, $2(x+y)=2\cdot3$, y obtén $2x+2y=6$. Resta esa ecuación completa de la segunda, en ambos lados: $(2x+3y)-(2x+2y)=8-6$, así que $y=2$. Para averiguar $x$, escribe 2 en el lugar de $y$ en $x+y=3$: $x+2=3$. Resta 2 a ambos lados, $x+2-2=3-2$, y queda $x=1$. Esta forma de averiguar los valores se llama eliminación de Gauss. Puedes recuperar la segunda ecuación original sumando dos veces la primera a $y=2$; por eso no has cambiado las soluciones.

En la tabla, $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ significa sustituir la fila 2 por esa diferencia; la fila 1 se conserva. La operación afecta también al 8 y al 3, no solo a los coeficientes. Puedes intercambiar filas, multiplicar todos los números de una fila por un mismo número distinto de cero o añadirle otra fila multiplicada por un número. El primer número distinto de cero que usas para eliminar los de debajo se llama pivote.

Prueba con un ejemplo pequeño

En $x+y=3$, $2x+3y=8$, ¿por qué restar $2F_1$ a $F_2$ deja $y$, pero no deja $x$?

1. Queremos quitar $x$ de la segunda cuenta. Allí hay $2x$ y en la primera hay $1x$, aunque no se escriba el 1: usa $2/1=2$ para multiplicar ambos lados de la primera ecuación. Obtienes $2(x+y)=2\cdot3$, es decir, $2x+2y=6$.
2. Resta esa ecuación completa: $(2x+3y)-(2x+2y)=8-6$. El signo menos cambia los dos términos del segundo paréntesis: $2x+3y-2x-2y=2$. Como $2x-2x=0$ y $3y-2y=y$, queda $y=2$.
3. Queremos averiguar $x$. En la primera ecuación, $x+y=3$, pon el 2 que acabas de obtener en lugar de $y$: $x+2=3$. Para dejar $x$ sola, resta 2 a ambos lados: $x+2-2=3-2$, luego $x=1$.
4. Comprueba ambos recibos: $1+2=3$ y $2\cdot1+3\cdot2=8$.

$(x,y)=(1,2)$. Elegiste multiplicar por 2 porque $2x-2x=0$; así la segunda cuenta ya no tiene $x$.

Ver un uso cotidiano: Averiguar los precios mirando dos recibos

Gauss: eliminar incógnitas sin cambiar las soluciones

Un cuaderno y un bolígrafo cuestan 3 €; dos cuadernos y tres bolígrafos cuestan 8 €. Dos veces la primera compra serían dos cuadernos y dos bolígrafos, por 6 €. Al comparar con la segunda, solo queda un bolígrafo y 2 € de diferencia. Ya sabes un precio sin tantear parejas.

Con $x+y=3$ y $2x+3y=8$, queremos quitar $x$ de la segunda: multiplica ambos lados de la primera por 2, $2(x+y)=2\cdot3$, y obtén $2x+2y=6$. Resta esa ecuación completa de la segunda, en ambos lados: $(2x+3y)-(2x+2y)=8-6$, así que $y=2$. Para averiguar $x$, escribe 2 en el lugar de $y$ en $x+y=3$: $x+2=3$. Resta 2 a ambos lados, $x+2-2=3-2$, y queda $x=1$. Esta forma de averiguar los valores se llama eliminación de Gauss. Puedes recuperar la segunda ecuación original sumando dos veces la primera a $y=2$; por eso no has cambiado las soluciones.

En la tabla, $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ significa sustituir la fila 2 por esa diferencia; la fila 1 se conserva. La operación afecta también al 8 y al 3, no solo a los coeficientes. Puedes intercambiar filas, multiplicar todos los números de una fila por un mismo número distinto de cero o añadirle otra fila multiplicada por un número. El primer número distinto de cero que usas para eliminar los de debajo se llama pivote.

Prueba con un ejemplo pequeño

En $x+y=3$, $2x+3y=8$, ¿por qué restar $2F_1$ a $F_2$ deja $y$, pero no deja $x$?

1. Queremos quitar $x$ de la segunda cuenta. Allí hay $2x$ y en la primera hay $1x$, aunque no se escriba el 1: usa $2/1=2$ para multiplicar ambos lados de la primera ecuación. Obtienes $2(x+y)=2\cdot3$, es decir, $2x+2y=6$.
2. Resta esa ecuación completa: $(2x+3y)-(2x+2y)=8-6$. El signo menos cambia los dos términos del segundo paréntesis: $2x+3y-2x-2y=2$. Como $2x-2x=0$ y $3y-2y=y$, queda $y=2$.
3. Queremos averiguar $x$. En la primera ecuación, $x+y=3$, pon el 2 que acabas de obtener en lugar de $y$: $x+2=3$. Para dejar $x$ sola, resta 2 a ambos lados: $x+2-2=3-2$, luego $x=1$.
4. Comprueba ambos recibos: $1+2=3$ y $2\cdot1+3\cdot2=8$.

$(x,y)=(1,2)$. Elegiste multiplicar por 2 porque $2x-2x=0$; así la segunda cuenta ya no tiene $x$.

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Comparar rangos para saber cuántas soluciones hay

En $x+y=3$ y $2x+2y=7$, los números delante de $x$ e $y$ se duplican, pero el total 3 no se duplica a 7: debería ser 6. Multiplica ambos lados de la primera por 2, $2x+2y=6$, y réstala de la segunda: $(2x+2y)-(2x+2y)=7-6$. Los términos con letras dan cero y el total da 1. Queda $(0,0\mid1)$, una fila que dice $0=1$.

Con los números que multiplican $x$ e $y$, después de la resta solo queda la fila $(1,1)$ con algún número distinto de cero: su rango es 1. Si incluyes la columna de totales, queda también $(0,0\mid1)$: su rango es 2. Esa fila dice $0x+0y=1$, imposible con cualquier pareja. Por eso, si los dos rangos son distintos, el sistema no tiene solución. Si son iguales, sí puedes elegir números que hagan verdaderas todas las ecuaciones.

Con tres incógnitas, $x+y=3$ e $y+z=5$ te permiten elegir $y$. Resta $y$ a ambos lados de cada cuenta y quedan $x=3-y$ y $z=5-y$: calculas esas dos después de elegir. Si conocieras también $y=2$, pondrías 2 en esas expresiones: $x=3-2=1$ y $z=5-2=3$, sin elecciones libres. La regla de Rouché–Frobenius resume la cuenta: cuando los rangos coinciden y valen el número de incógnitas, hay una sola solución; si coinciden pero son menores, hay infinitas.

Prueba con un ejemplo pequeño

En $x+y=3$ y $y+z=5$, hay tres incógnitas y los dos rangos valen 2. ¿Qué número puedes elegir y usar después para calcular los otros dos?

1. Escribe las columnas en orden $x$, $y$, $z$: $A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$ y $(A|b)=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&0&3\\0&1&1&5\end{array}\right)$. El cero inicial de la segunda fila conserva el lugar de $x$.
2. Ya tienen forma de escalera: la primera fila empieza con 1 en la columna $x$ y la segunda en la columna $y$. Las dos filas tienen algún número distinto de cero, con o sin los totales: ambos rangos son 2. Hay tres incógnitas.
3. Queremos calcular $x$ y $z$ después de elegir $y$. Resta $y$ a ambos lados de cada ecuación: $x+y-y=3-y$ e $y+z-y=5-y$. Quedan $x=3-y$ y $z=5-y$. Si eliges $y=0$, obtienes $(x,y,z)=(3-0,0,5-0)=(3,0,5)$; si eliges $y=1$, obtienes $(3-1,1,5-1)=(2,1,4)$. Las dos ternas cumplen ambas sumas.
4. Nombra esa elección $y=t$: donde ponía $y$, escribe $t$, y quedan $x=3-t$ y $z=5-t$. Dos cuentas permiten calcular $x$ y $z$ después de elegir $y$; no han fijado las tres letras.

Es compatible indeterminado. Puedes elegir $y$ y calcular $x$ y $z$, así que no hay una única terna de números.

Comparar rangos para saber cuántas soluciones hay

En $x+y=3$ y $2x+2y=7$, los números delante de $x$ e $y$ se duplican, pero el total 3 no se duplica a 7: debería ser 6. Multiplica ambos lados de la primera por 2, $2x+2y=6$, y réstala de la segunda: $(2x+2y)-(2x+2y)=7-6$. Los términos con letras dan cero y el total da 1. Queda $(0,0\mid1)$, una fila que dice $0=1$.

Con los números que multiplican $x$ e $y$, después de la resta solo queda la fila $(1,1)$ con algún número distinto de cero: su rango es 1. Si incluyes la columna de totales, queda también $(0,0\mid1)$: su rango es 2. Esa fila dice $0x+0y=1$, imposible con cualquier pareja. Por eso, si los dos rangos son distintos, el sistema no tiene solución. Si son iguales, sí puedes elegir números que hagan verdaderas todas las ecuaciones.

Con tres incógnitas, $x+y=3$ e $y+z=5$ te permiten elegir $y$. Resta $y$ a ambos lados de cada cuenta y quedan $x=3-y$ y $z=5-y$: calculas esas dos después de elegir. Si conocieras también $y=2$, pondrías 2 en esas expresiones: $x=3-2=1$ y $z=5-2=3$, sin elecciones libres. La regla de Rouché–Frobenius resume la cuenta: cuando los rangos coinciden y valen el número de incógnitas, hay una sola solución; si coinciden pero son menores, hay infinitas.

Prueba con un ejemplo pequeño

En $x+y=3$ y $y+z=5$, hay tres incógnitas y los dos rangos valen 2. ¿Qué número puedes elegir y usar después para calcular los otros dos?

1. Escribe las columnas en orden $x$, $y$, $z$: $A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$ y $(A|b)=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&0&3\\0&1&1&5\end{array}\right)$. El cero inicial de la segunda fila conserva el lugar de $x$.
2. Ya tienen forma de escalera: la primera fila empieza con 1 en la columna $x$ y la segunda en la columna $y$. Las dos filas tienen algún número distinto de cero, con o sin los totales: ambos rangos son 2. Hay tres incógnitas.
3. Queremos calcular $x$ y $z$ después de elegir $y$. Resta $y$ a ambos lados de cada ecuación: $x+y-y=3-y$ e $y+z-y=5-y$. Quedan $x=3-y$ y $z=5-y$. Si eliges $y=0$, obtienes $(x,y,z)=(3-0,0,5-0)=(3,0,5)$; si eliges $y=1$, obtienes $(3-1,1,5-1)=(2,1,4)$. Las dos ternas cumplen ambas sumas.
4. Nombra esa elección $y=t$: donde ponía $y$, escribe $t$, y quedan $x=3-t$ y $z=5-t$. Dos cuentas permiten calcular $x$ y $z$ después de elegir $y$; no han fijado las tres letras.

Es compatible indeterminado. Puedes elegir $y$ y calcular $x$ y $z$, así que no hay una única terna de números.

Una solución, infinitas o ninguna

Buscas dos números que sumen 3. Si además su diferencia es 1, suma ambos lados de las cuentas $x+y=3$ y $x-y=1$: $(x+y)+(x-y)=3+1$, luego $2x=4$. Para dejar $x$ sola divide ambos lados entre 2: $2x/2=4/2$, así que $x=2$. En la primera queda $2+y=3$; resta 2 a ambos lados, $2+y-2=3-2$, y queda $y=1$. Si la segunda ecuación dice que el doble de la suma es 6, solo repite la primera: sirven $(2,1)$, $(3,0)$ y muchas parejas más. Si exige que ese doble sea 7, no puede cumplirse: el doble de 3 es 6.

Cuando una sola pareja sirve, el sistema se llama compatible determinado. Cuando puedes elegir entre infinitas parejas, se llama compatible indeterminado. Cuando no sirve ninguna, se llama incompatible. «Compatible» significa que puedes poner los mismos números en todas las ecuaciones y hacer verdaderas sus igualdades.

Después de Gauss, una fila $0=0$ siempre es cierta: pongas los números que pongas, ya no cambia la cuenta. Una fila $0=1$ es imposible, porque cero nunca vale uno. Si no aparece una igualdad imposible, comprueba si puedes averiguar cada incógnita o si puedes elegir una y calcular las otras a partir de ella.

Prueba con un ejemplo pequeño

En $x+y=3$ y $2x+2y=6$, al hacer Gauss queda $0=0$. ¿Por qué eso no significa que $x=0$ e $y=0$?

1. La segunda ecuación es dos veces la primera. Resta toda la primera duplicada: $(2x+2y)-2(x+y)=6-2\cdot3$. Al abrir el paréntesis queda $2x+2y-2x-2y=0$, es decir, $0=0$.
2. Esa frase no habla ya de un valor concreto de $x$ o $y$. La primera ecuación sigue exigiendo $x+y=3$, por lo que $(0,0)$ no sirve.
3. La primera todavía exige $x+y=3$. Para dejar $x$ sola, resta $y$ a ambos lados: $x+y-y=3-y$, luego $x=3-y$. Si eliges $y=1$, pon ese 1 donde aparece $y$: $x=3-1=2$. Si eliges $y=-1$, sale $x=3-(-1)=4$. Esas elecciones dan $(2,1)$ y $(4,-1)$.

Es compatible indeterminado: hay infinitas parejas, pero todas deben cumplir $x+y=3$.

Una solución, infinitas o ninguna

Buscas dos números que sumen 3. Si además su diferencia es 1, suma ambos lados de las cuentas $x+y=3$ y $x-y=1$: $(x+y)+(x-y)=3+1$, luego $2x=4$. Para dejar $x$ sola divide ambos lados entre 2: $2x/2=4/2$, así que $x=2$. En la primera queda $2+y=3$; resta 2 a ambos lados, $2+y-2=3-2$, y queda $y=1$. Si la segunda ecuación dice que el doble de la suma es 6, solo repite la primera: sirven $(2,1)$, $(3,0)$ y muchas parejas más. Si exige que ese doble sea 7, no puede cumplirse: el doble de 3 es 6.

Cuando una sola pareja sirve, el sistema se llama compatible determinado. Cuando puedes elegir entre infinitas parejas, se llama compatible indeterminado. Cuando no sirve ninguna, se llama incompatible. «Compatible» significa que puedes poner los mismos números en todas las ecuaciones y hacer verdaderas sus igualdades.

Después de Gauss, una fila $0=0$ siempre es cierta: pongas los números que pongas, ya no cambia la cuenta. Una fila $0=1$ es imposible, porque cero nunca vale uno. Si no aparece una igualdad imposible, comprueba si puedes averiguar cada incógnita o si puedes elegir una y calcular las otras a partir de ella.

Prueba con un ejemplo pequeño

En $x+y=3$ y $2x+2y=6$, al hacer Gauss queda $0=0$. ¿Por qué eso no significa que $x=0$ e $y=0$?

1. La segunda ecuación es dos veces la primera. Resta toda la primera duplicada: $(2x+2y)-2(x+y)=6-2\cdot3$. Al abrir el paréntesis queda $2x+2y-2x-2y=0$, es decir, $0=0$.
2. Esa frase no habla ya de un valor concreto de $x$ o $y$. La primera ecuación sigue exigiendo $x+y=3$, por lo que $(0,0)$ no sirve.
3. La primera todavía exige $x+y=3$. Para dejar $x$ sola, resta $y$ a ambos lados: $x+y-y=3-y$, luego $x=3-y$. Si eliges $y=1$, pon ese 1 donde aparece $y$: $x=3-1=2$. Si eliges $y=-1$, sale $x=3-(-1)=4$. Esas elecciones dan $(2,1)$ y $(4,-1)$.

Es compatible indeterminado: hay infinitas parejas, pero todas deben cumplir $x+y=3$.

Discutir un sistema que contiene una letra

Tienes $x+y=1$ y $x+ay=2$. Si $a=2$, escribe 2 en su lugar: la segunda es $x+2y=2$. Resta la primera completa, $(x+2y)-(x+y)=2-1$, y queda $y=1$. Pon ese 1 en la primera, $x+1=1$; resta 1 a ambos lados, $x+1-1=1-1$, y queda $x=0$. Si $a=1$, las cuentas exigirían a la vez $x+y=1$ y $x+y=2$: no puede ocurrir. Cambiar una sola letra ha cambiado si existe solución.

La letra $a$ es un parámetro: se deja abierta para preguntar qué ocurre en cada caso. Al restar la primera ecuación a la segunda, los términos con $x$ dan cero y queda $ay-y=1$. Como $y=1y$, puedes reunirlos: $ay-1y=(a-1)y$, así que $(a-1)y=1$. Si $a=1$, el número que multiplica a $y$ es cero; para los demás valores puedes dividir ambos lados entre $a-1$ para dejar $y$ sola.

En el examen, «discutir según $a$» no pide dar un valor para $a$: pide clasificar todos sus casos. Anota primero el valor que impide la división y escríbelo en cada lugar donde aparezca $a$ en la ecuación sin dividir. Solo después escribe la solución o el tipo para los demás valores.

Prueba con un ejemplo pequeño

En $x+y=1$, $x+ay=2$, ¿por qué no puedes usar $y=1/(a-1)$ directamente para $a=1$?

1. Resta la primera ecuación completa de la segunda, en ambos lados: $(x+ay)-(x+y)=2-1$. Abre el paréntesis con su signo: $x+ay-x-y=1$. Queda $ay-y=1$; reúne $ay-1y$ como $(a-1)y=1$, porque ambos términos multiplican la misma $y$. El $a-1$ procede de restar los dos coeficientes.
2. Si $a=1$, pon 1 en el coeficiente antes de dividir: $(1-1)y=1$, luego $0y=1$, es decir, $0=1$. No existe ningún $y$ que la cumpla.
3. Si $a\ne1$, queremos dejar $y$ sola. Divide ambos lados entre $a-1$: $\frac{(a-1)y}{a-1}=\frac1{a-1}$, luego $y=1/(a-1)$. El divisor no es cero en este caso. Para hallar $x$, vuelve a $x+y=1$ y resta $y$ a ambos lados: $x+y-y=1-y$, luego $x=1-y$. En esa expresión pon el valor que acabas de obtener para $y$: $x=1-1/(a-1)$. Cada valor de $a$ distinto de 1 fija una única pareja.

Para $a=1$ no hay solución. Para $a\ne1$ hay una única solución dada por las dos expresiones.

Discutir un sistema que contiene una letra

Tienes $x+y=1$ y $x+ay=2$. Si $a=2$, escribe 2 en su lugar: la segunda es $x+2y=2$. Resta la primera completa, $(x+2y)-(x+y)=2-1$, y queda $y=1$. Pon ese 1 en la primera, $x+1=1$; resta 1 a ambos lados, $x+1-1=1-1$, y queda $x=0$. Si $a=1$, las cuentas exigirían a la vez $x+y=1$ y $x+y=2$: no puede ocurrir. Cambiar una sola letra ha cambiado si existe solución.

La letra $a$ es un parámetro: se deja abierta para preguntar qué ocurre en cada caso. Al restar la primera ecuación a la segunda, los términos con $x$ dan cero y queda $ay-y=1$. Como $y=1y$, puedes reunirlos: $ay-1y=(a-1)y$, así que $(a-1)y=1$. Si $a=1$, el número que multiplica a $y$ es cero; para los demás valores puedes dividir ambos lados entre $a-1$ para dejar $y$ sola.

En el examen, «discutir según $a$» no pide dar un valor para $a$: pide clasificar todos sus casos. Anota primero el valor que impide la división y escríbelo en cada lugar donde aparezca $a$ en la ecuación sin dividir. Solo después escribe la solución o el tipo para los demás valores.

Prueba con un ejemplo pequeño

En $x+y=1$, $x+ay=2$, ¿por qué no puedes usar $y=1/(a-1)$ directamente para $a=1$?

1. Resta la primera ecuación completa de la segunda, en ambos lados: $(x+ay)-(x+y)=2-1$. Abre el paréntesis con su signo: $x+ay-x-y=1$. Queda $ay-y=1$; reúne $ay-1y$ como $(a-1)y=1$, porque ambos términos multiplican la misma $y$. El $a-1$ procede de restar los dos coeficientes.
2. Si $a=1$, pon 1 en el coeficiente antes de dividir: $(1-1)y=1$, luego $0y=1$, es decir, $0=1$. No existe ningún $y$ que la cumpla.
3. Si $a\ne1$, queremos dejar $y$ sola. Divide ambos lados entre $a-1$: $\frac{(a-1)y}{a-1}=\frac1{a-1}$, luego $y=1/(a-1)$. El divisor no es cero en este caso. Para hallar $x$, vuelve a $x+y=1$ y resta $y$ a ambos lados: $x+y-y=1-y$, luego $x=1-y$. En esa expresión pon el valor que acabas de obtener para $y$: $x=1-1/(a-1)$. Cada valor de $a$ distinto de 1 fija una única pareja.

Para $a=1$ no hay solución. Para $a\ne1$ hay una única solución dada por las dos expresiones.

Escribir todas las soluciones con un parámetro libre

Para encontrar dos números que sumen 3, puedes empezar por $(3,0)$, $(2,1)$ o $(4,-1)$. Si aumentas el segundo número en 1, el primero debe bajar en 1 para conservar la suma. Ya ves cómo construir nuevas parejas sin resolver desde el principio cada vez.

Elige el segundo número y llámalo $t$: $y=t$. En $x+y=3$, escribe $t$ donde estaba $y$: queda $x+t=3$. Para dejar $x$ sola resta $t$ a ambos lados, $x+t-t=3-t$, y obtén $x=3-t$. Así escribes todas las parejas como $(x,y)=(3-t,t)$. $t$ se llama parámetro libre porque lo eliges tú; no has añadido otra ecuación. $t\in\mathbb R$ permite cualquier número real, incluidos negativos y decimales.

Si otra ecuación solo repite la suma, como $2x+2y=6$, todas esas parejas seguirán sirviendo. En el examen, esta escritura permite dar todas las soluciones de un sistema indeterminado. Una sola pareja sería únicamente un ejemplo de solución, no la respuesta completa.

Prueba con un ejemplo pequeño

Para $x+y=3$ y $2x+2y=6$, ¿por qué $(3-t,t)$ sirve para cualquier $t$ y $(3+t,t)$ no?

1. La pareja $(3-t,t)$ propone $x=3-t$ e $y=t$. En $x+y=3$ escribe esas expresiones donde estaban las letras: el lado izquierdo es $(3-t)+t=3$. Lo que aumentas en $y$ lo descuentas en $x$.
2. En la segunda ecuación, $2x+2y=6$, pon también $3-t$ donde estaba $x$ y $t$ donde estaba $y$. Los dos coeficientes 2 se conservan: $2(3-t)+2t=6-2t+2t=6$. Multiplicar por 2 afecta al 3 y al $-t$; después $-2t+2t=0$. Funciona con cualquier $t$.
3. En $(3+t,t)$, sumar daría $(3+t)+t=3+t+t=3+2t$. Con $t=1$, obtendrías $(4,1)$: $4+1=5$, distinto de 3. Esa expresión no describe todas las soluciones.

Las soluciones son $(x,y)=(3-t,t)$, $t\in\mathbb R$. El signo menos hace que $(3-t)+t$ siga dando 3 aunque cambies $t$.

Una solución, infinitas o ninguna

Buscas dos números que sumen 3. Si además su diferencia es 1, suma ambos lados de las cuentas $x+y=3$ y $x-y=1$: $(x+y)+(x-y)=3+1$, luego $2x=4$. Para dejar $x$ sola divide ambos lados entre 2: $2x/2=4/2$, así que $x=2$. En la primera queda $2+y=3$; resta 2 a ambos lados, $2+y-2=3-2$, y queda $y=1$. Si la segunda ecuación dice que el doble de la suma es 6, solo repite la primera: sirven $(2,1)$, $(3,0)$ y muchas parejas más. Si exige que ese doble sea 7, no puede cumplirse: el doble de 3 es 6.

Cuando una sola pareja sirve, el sistema se llama compatible determinado. Cuando puedes elegir entre infinitas parejas, se llama compatible indeterminado. Cuando no sirve ninguna, se llama incompatible. «Compatible» significa que puedes poner los mismos números en todas las ecuaciones y hacer verdaderas sus igualdades.

Después de Gauss, una fila $0=0$ siempre es cierta: pongas los números que pongas, ya no cambia la cuenta. Una fila $0=1$ es imposible, porque cero nunca vale uno. Si no aparece una igualdad imposible, comprueba si puedes averiguar cada incógnita o si puedes elegir una y calcular las otras a partir de ella.

Prueba con un ejemplo pequeño

En $x+y=3$ y $2x+2y=6$, al hacer Gauss queda $0=0$. ¿Por qué eso no significa que $x=0$ e $y=0$?

1. La segunda ecuación es dos veces la primera. Resta toda la primera duplicada: $(2x+2y)-2(x+y)=6-2\cdot3$. Al abrir el paréntesis queda $2x+2y-2x-2y=0$, es decir, $0=0$.
2. Esa frase no habla ya de un valor concreto de $x$ o $y$. La primera ecuación sigue exigiendo $x+y=3$, por lo que $(0,0)$ no sirve.
3. La primera todavía exige $x+y=3$. Para dejar $x$ sola, resta $y$ a ambos lados: $x+y-y=3-y$, luego $x=3-y$. Si eliges $y=1$, pon ese 1 donde aparece $y$: $x=3-1=2$. Si eliges $y=-1$, sale $x=3-(-1)=4$. Esas elecciones dan $(2,1)$ y $(4,-1)$.

Es compatible indeterminado: hay infinitas parejas, pero todas deben cumplir $x+y=3$.