Funciones y derivadas

Límite: qué pasa al acercarse a un número

Prueba $\dfrac{x^2-1}{x-1}$: con $x=0{,}9$ obtienes 1,9; con 0,99, obtienes 1,99; con 1,01, obtienes 2,01. Cuanto más cerca están esos números de 1, más cerca quedan sus resultados de 2.

Si pones exactamente 1, arriba queda $1^2-1=0$ y abajo $1-1=0$. La división $0/0$ no elige un resultado: dividir busca qué número multiplicado por el de abajo da el de arriba, y aquí tanto $0\cdot0$ como $5\cdot0$ dan 0. Por eso no podemos dibujar un punto de esta fracción justo en $x=1$.

Aun así podemos preguntar a qué número se acercan los resultados de alrededor. Aquí se acercan a 2: eso es el límite. Los números menores y mayores que 1 deben acercarse al mismo resultado. Unas pocas pruebas nos orientan; en los pasos de abajo veremos por qué la cuenta siempre funciona así cerca de 1.

Prueba con un ejemplo pequeño

¿Por qué $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ se acerca a 2 al acercarse $x$ a 1, si en 1 acaba en $0/0$?

1. La pregunta es qué pasa cerca de 1. Prueba primero el propio 1: arriba $1^2-1=0$ y abajo $1-1=0$. Da $0/0$, que no elige un resultado, así que necesitamos otra manera de hacer el cálculo cerca.
2. Con 0,9 obtienes 1,9; con 0,99, 1,99; con 1,01, 2,01. Sugieren el 2, pero debemos explicar por qué vale para todos los números cercanos permitidos.
3. Escribe arriba $(x-1)(x+1)$. Al multiplicar queda $x^2+x-x-1=x^2-1$, así que no has cambiado el numerador.
4. Como $3/3=1$, dividir $3(x+1)$ entre 3 deja $x+1$. Lo mismo vale con cualquier número distinto de 0: $\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ cuando $x\ne1$.
5. Ahora el cálculo cercano es sumar 1 a $x$. Al acercarse $x$ a 1, se acerca a 2. Si pones exactamente 1 en la fracción de partida, abajo sigue habiendo 0.

El límite vale 2. Si pones exactamente 1, la fracción sigue acabando en $0/0$.

Límite: qué pasa al acercarse a un número

Prueba $\dfrac{x^2-1}{x-1}$: con $x=0{,}9$ obtienes 1,9; con 0,99, obtienes 1,99; con 1,01, obtienes 2,01. Cuanto más cerca están esos números de 1, más cerca quedan sus resultados de 2.

Si pones exactamente 1, arriba queda $1^2-1=0$ y abajo $1-1=0$. La división $0/0$ no elige un resultado: dividir busca qué número multiplicado por el de abajo da el de arriba, y aquí tanto $0\cdot0$ como $5\cdot0$ dan 0. Por eso no podemos dibujar un punto de esta fracción justo en $x=1$.

Aun así podemos preguntar a qué número se acercan los resultados de alrededor. Aquí se acercan a 2: eso es el límite. Los números menores y mayores que 1 deben acercarse al mismo resultado. Unas pocas pruebas nos orientan; en los pasos de abajo veremos por qué la cuenta siempre funciona así cerca de 1.

Prueba con un ejemplo pequeño

¿Por qué $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ se acerca a 2 al acercarse $x$ a 1, si en 1 acaba en $0/0$?

1. La pregunta es qué pasa cerca de 1. Prueba primero el propio 1: arriba $1^2-1=0$ y abajo $1-1=0$. Da $0/0$, que no elige un resultado, así que necesitamos otra manera de hacer el cálculo cerca.
2. Con 0,9 obtienes 1,9; con 0,99, 1,99; con 1,01, 2,01. Sugieren el 2, pero debemos explicar por qué vale para todos los números cercanos permitidos.
3. Escribe arriba $(x-1)(x+1)$. Al multiplicar queda $x^2+x-x-1=x^2-1$, así que no has cambiado el numerador.
4. Como $3/3=1$, dividir $3(x+1)$ entre 3 deja $x+1$. Lo mismo vale con cualquier número distinto de 0: $\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ cuando $x\ne1$.
5. Ahora el cálculo cercano es sumar 1 a $x$. Al acercarse $x$ a 1, se acerca a 2. Si pones exactamente 1 en la fracción de partida, abajo sigue habiendo 0.

El límite vale 2. Si pones exactamente 1, la fracción sigue acabando en $0/0$.

Límite: qué pasa al acercarse a un número

Prueba $\dfrac{x^2-1}{x-1}$: con $x=0{,}9$ obtienes 1,9; con 0,99, obtienes 1,99; con 1,01, obtienes 2,01. Cuanto más cerca están esos números de 1, más cerca quedan sus resultados de 2.

Si pones exactamente 1, arriba queda $1^2-1=0$ y abajo $1-1=0$. La división $0/0$ no elige un resultado: dividir busca qué número multiplicado por el de abajo da el de arriba, y aquí tanto $0\cdot0$ como $5\cdot0$ dan 0. Por eso no podemos dibujar un punto de esta fracción justo en $x=1$.

Aun así podemos preguntar a qué número se acercan los resultados de alrededor. Aquí se acercan a 2: eso es el límite. Los números menores y mayores que 1 deben acercarse al mismo resultado. Unas pocas pruebas nos orientan; en los pasos de abajo veremos por qué la cuenta siempre funciona así cerca de 1.

Prueba con un ejemplo pequeño

¿Por qué $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ se acerca a 2 al acercarse $x$ a 1, si en 1 acaba en $0/0$?

1. La pregunta es qué pasa cerca de 1. Prueba primero el propio 1: arriba $1^2-1=0$ y abajo $1-1=0$. Da $0/0$, que no elige un resultado, así que necesitamos otra manera de hacer el cálculo cerca.
2. Con 0,9 obtienes 1,9; con 0,99, 1,99; con 1,01, 2,01. Sugieren el 2, pero debemos explicar por qué vale para todos los números cercanos permitidos.
3. Escribe arriba $(x-1)(x+1)$. Al multiplicar queda $x^2+x-x-1=x^2-1$, así que no has cambiado el numerador.
4. Como $3/3=1$, dividir $3(x+1)$ entre 3 deja $x+1$. Lo mismo vale con cualquier número distinto de 0: $\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ cuando $x\ne1$.
5. Ahora el cálculo cercano es sumar 1 a $x$. Al acercarse $x$ a 1, se acerca a 2. Si pones exactamente 1 en la fracción de partida, abajo sigue habiendo 0.

El límite vale 2. Si pones exactamente 1, la fracción sigue acabando en $0/0$.

Límite: qué pasa al acercarse a un número

Prueba $\dfrac{x^2-1}{x-1}$: con $x=0{,}9$ obtienes 1,9; con 0,99, obtienes 1,99; con 1,01, obtienes 2,01. Cuanto más cerca están esos números de 1, más cerca quedan sus resultados de 2.

Si pones exactamente 1, arriba queda $1^2-1=0$ y abajo $1-1=0$. La división $0/0$ no elige un resultado: dividir busca qué número multiplicado por el de abajo da el de arriba, y aquí tanto $0\cdot0$ como $5\cdot0$ dan 0. Por eso no podemos dibujar un punto de esta fracción justo en $x=1$.

Aun así podemos preguntar a qué número se acercan los resultados de alrededor. Aquí se acercan a 2: eso es el límite. Los números menores y mayores que 1 deben acercarse al mismo resultado. Unas pocas pruebas nos orientan; en los pasos de abajo veremos por qué la cuenta siempre funciona así cerca de 1.

Prueba con un ejemplo pequeño

¿Por qué $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ se acerca a 2 al acercarse $x$ a 1, si en 1 acaba en $0/0$?

1. La pregunta es qué pasa cerca de 1. Prueba primero el propio 1: arriba $1^2-1=0$ y abajo $1-1=0$. Da $0/0$, que no elige un resultado, así que necesitamos otra manera de hacer el cálculo cerca.
2. Con 0,9 obtienes 1,9; con 0,99, 1,99; con 1,01, 2,01. Sugieren el 2, pero debemos explicar por qué vale para todos los números cercanos permitidos.
3. Escribe arriba $(x-1)(x+1)$. Al multiplicar queda $x^2+x-x-1=x^2-1$, así que no has cambiado el numerador.
4. Como $3/3=1$, dividir $3(x+1)$ entre 3 deja $x+1$. Lo mismo vale con cualquier número distinto de 0: $\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ cuando $x\ne1$.
5. Ahora el cálculo cercano es sumar 1 a $x$. Al acercarse $x$ a 1, se acerca a 2. Si pones exactamente 1 en la fracción de partida, abajo sigue habiendo 0.

El límite vale 2. Si pones exactamente 1, la fracción sigue acabando en $0/0$.

Límite: qué pasa al acercarse a un número

Prueba $\dfrac{x^2-1}{x-1}$: con $x=0{,}9$ obtienes 1,9; con 0,99, obtienes 1,99; con 1,01, obtienes 2,01. Cuanto más cerca están esos números de 1, más cerca quedan sus resultados de 2.

Si pones exactamente 1, arriba queda $1^2-1=0$ y abajo $1-1=0$. La división $0/0$ no elige un resultado: dividir busca qué número multiplicado por el de abajo da el de arriba, y aquí tanto $0\cdot0$ como $5\cdot0$ dan 0. Por eso no podemos dibujar un punto de esta fracción justo en $x=1$.

Aun así podemos preguntar a qué número se acercan los resultados de alrededor. Aquí se acercan a 2: eso es el límite. Los números menores y mayores que 1 deben acercarse al mismo resultado. Unas pocas pruebas nos orientan; en los pasos de abajo veremos por qué la cuenta siempre funciona así cerca de 1.

Prueba con un ejemplo pequeño

¿Por qué $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ se acerca a 2 al acercarse $x$ a 1, si en 1 acaba en $0/0$?

1. La pregunta es qué pasa cerca de 1. Prueba primero el propio 1: arriba $1^2-1=0$ y abajo $1-1=0$. Da $0/0$, que no elige un resultado, así que necesitamos otra manera de hacer el cálculo cerca.
2. Con 0,9 obtienes 1,9; con 0,99, 1,99; con 1,01, 2,01. Sugieren el 2, pero debemos explicar por qué vale para todos los números cercanos permitidos.
3. Escribe arriba $(x-1)(x+1)$. Al multiplicar queda $x^2+x-x-1=x^2-1$, así que no has cambiado el numerador.
4. Como $3/3=1$, dividir $3(x+1)$ entre 3 deja $x+1$. Lo mismo vale con cualquier número distinto de 0: $\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ cuando $x\ne1$.
5. Ahora el cálculo cercano es sumar 1 a $x$. Al acercarse $x$ a 1, se acerca a 2. Si pones exactamente 1 en la fracción de partida, abajo sigue habiendo 0.

El límite vale 2. Si pones exactamente 1, la fracción sigue acabando en $0/0$.

Continuidad: unir los trozos sin salto ni hueco

La fracción $(x^2-1)/(x-1)$ no da un resultado con $x$ igual a 1, pero con números cercanos sus resultados se acercan a 2. Añade esta instrucción: «cuando $x$ sea exactamente 1, el resultado será 2». Así rellenas el punto que faltaba.

Si en cambio pones 7 en $x$ igual a 1, los puntos de alrededor siguen acercándose a 2 y aparece otro punto a altura 7. Para que la función sea continua, el resultado del propio punto debe coincidir con lo que llega desde ambos lados.

En una función con varias fórmulas, lee qué fórmula corresponde a cada lado del cambio y cuál incluye el propio punto. Comparar esos tres resultados permite elegir un valor que una los tramos sin salto ni hueco.

Para clasificar la discontinuidad, compara los dos límites laterales. Si coinciden en un número pero el punto falta o tiene otro valor, es evitable: puedes repararlo asignando ese número. Si ambos límites son finitos pero distintos, hay salto finito: cambiar solo el punto no junta los tramos. Si algún lado crece o baja sin límite, es de salto infinito y debes estudiar la asíntota vertical; un ejemplo es $1/x$ cerca de 0.

Prueba con un ejemplo pequeño

Si $f(x)=x+1$ para $x<1$ y $f(x)=k$ para $x\geq1$, ¿qué $k$ une los tramos sin salto?

1. Las dos fórmulas cambian en $x=1$. La de $x+1$ se usa a la izquierda, porque dice $x<1$. El propio 1 pertenece a la fórmula $k$, porque $x\geq1$ incluye la igualdad.
2. Desde la izquierda, $x+1$ se acerca a $1+1=2$. Puedes verlo en 0,9 y 0,99: dan 1,9 y 1,99.
3. Desde la derecha, el resultado es $k$. En el punto también es $k$. Para que ambos lados y el punto se unan, escribe la condición $2=k$.
4. Elige $k=2$ y comprueba: la izquierda llega a 2, la derecha vale 2 y $f(1)=2$.

$k=2$.

Derivada: cuánto cambia una cantidad en ese momento

Supón que a los $t$ segundos has recorrido $t^2$ metros. A los 2 s llevas 4 m y a los 2,1 s, 4,41 m. En ese tramo has avanzado 0,41 m en 0,1 s: la velocidad media es $0{,}41/0{,}1=4{,}1$ m/s.

Si comparas tiempos cada vez más próximos a 2 s, las velocidades medias se acercan a 4 m/s. Esa velocidad justo en 2 s es la derivada en ese momento. La fórmula $f(t)=t^2$ tiene derivada $f'(t)=2t$, que en $t$ igual a 2 vale 4.

En una gráfica, la misma idea mide cuánto sube o baja el dibujo por cada pequeño avance horizontal: eso es la pendiente. Derivada positiva indica que sube; negativa, que baja. Si vale 0, la dirección es horizontal, pero aún hay que comprobar si es una cima, un valle o ninguna de las dos.

Prueba con un ejemplo pequeño

Si $f(t)=t^2$ metros, ¿qué significan $f(3)=9$ y $f'(3)=6$?

1. $f(3)$ pregunta cuánto se ha recorrido a los 3 s. Pon 3 en la función: $f(3)=3^2=9$ metros.
2. $f'(3)$ pregunta la velocidad justo ahí. Para $t^2$, la regla de la potencia da $2t^{2-1}=2t$: esa es $f'(t)$.
3. Pon ahora 3 en la derivada: $f'(3)=2\cdot3=6$ metros por segundo. No tiene las mismas unidades que los 9 metros.
4. Para un tiempo muy pequeño de 0,01 s, usa velocidad por tiempo: $6\cdot0{,}01=0{,}06$ m aproximadamente. La aproximación es local porque la velocidad cambia con $t$.

A los 3 s llevas 9 m y vas a 6 m/s.

Ver un uso cotidiano: Leer un ritmo de aumento en una noticia

Reglas de derivación: elegir según la operación

En $x^2+7$, todos los puntos están 7 más altos que en $x^2$, pero las diferencias entre ellos son iguales. Por eso ambas tienen derivada $2x$. En $3x^2$, las diferencias son tres veces mayores y la derivada es $6x$.

Al derivar una suma, deriva cada término. En $x^n$, usa $nx^{n-1}$. Para un producto $uv$, cuenta dos cambios: $u'v$ cambia la primera parte y conserva la segunda; $uv'$ hace lo contrario. Súmalos. Para una fracción $u/v$, la regla usa $u'v-uv'$ y después divide entre $v^2$; antes de sustituir identifica claramente qué va arriba y qué abajo.

Hay parejas que conviene recordar: $(e^x)'=e^x$ y $(\ln x)'=1/x$ para $x>0$. Las derivadas de seno y coseno son $\cos x$ y $-\sin x$ si el ángulo está en radianes. Media vuelta son $\pi$ radianes, lo mismo que 180°. Si dentro hay algo como $2x$, necesitas también la regla de la cadena.

Prueba con un ejemplo pequeño

Deriva $x^2e^x$.

1. La expresión $x^2e^x$ es un producto, no una suma. Escoge $u=x^2$ y $v=e^x$ para saber qué representa cada letra de la regla.
2. Deriva cada parte: $u'=2x$ y $v'=e^x$.
3. Escribe primero los dos términos sin simplificar: $u'v=(2x)e^x$ y $uv'=x^2(e^x)$. La regla pide sumarlos.
4. Por tanto, $f'(x)=2xe^x+x^2e^x$. Como ambos llevan $e^x$, puedes escribir $e^x(2x+x^2)$; multiplicar ese paréntesis recupera la suma.

$f'(x)=e^x(2x+x^2)$.

Derivada: cuánto cambia una cantidad en ese momento

Supón que a los $t$ segundos has recorrido $t^2$ metros. A los 2 s llevas 4 m y a los 2,1 s, 4,41 m. En ese tramo has avanzado 0,41 m en 0,1 s: la velocidad media es $0{,}41/0{,}1=4{,}1$ m/s.

Si comparas tiempos cada vez más próximos a 2 s, las velocidades medias se acercan a 4 m/s. Esa velocidad justo en 2 s es la derivada en ese momento. La fórmula $f(t)=t^2$ tiene derivada $f'(t)=2t$, que en $t$ igual a 2 vale 4.

En una gráfica, la misma idea mide cuánto sube o baja el dibujo por cada pequeño avance horizontal: eso es la pendiente. Derivada positiva indica que sube; negativa, que baja. Si vale 0, la dirección es horizontal, pero aún hay que comprobar si es una cima, un valle o ninguna de las dos.

Prueba con un ejemplo pequeño

Si $f(t)=t^2$ metros, ¿qué significan $f(3)=9$ y $f'(3)=6$?

1. $f(3)$ pregunta cuánto se ha recorrido a los 3 s. Pon 3 en la función: $f(3)=3^2=9$ metros.
2. $f'(3)$ pregunta la velocidad justo ahí. Para $t^2$, la regla de la potencia da $2t^{2-1}=2t$: esa es $f'(t)$.
3. Pon ahora 3 en la derivada: $f'(3)=2\cdot3=6$ metros por segundo. No tiene las mismas unidades que los 9 metros.
4. Para un tiempo muy pequeño de 0,01 s, usa velocidad por tiempo: $6\cdot0{,}01=0{,}06$ m aproximadamente. La aproximación es local porque la velocidad cambia con $t$.

A los 3 s llevas 9 m y vas a 6 m/s.

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Reglas de derivación: elegir según la operación

En $x^2+7$, todos los puntos están 7 más altos que en $x^2$, pero las diferencias entre ellos son iguales. Por eso ambas tienen derivada $2x$. En $3x^2$, las diferencias son tres veces mayores y la derivada es $6x$.

Al derivar una suma, deriva cada término. En $x^n$, usa $nx^{n-1}$. Para un producto $uv$, cuenta dos cambios: $u'v$ cambia la primera parte y conserva la segunda; $uv'$ hace lo contrario. Súmalos. Para una fracción $u/v$, la regla usa $u'v-uv'$ y después divide entre $v^2$; antes de sustituir identifica claramente qué va arriba y qué abajo.

Hay parejas que conviene recordar: $(e^x)'=e^x$ y $(\ln x)'=1/x$ para $x>0$. Las derivadas de seno y coseno son $\cos x$ y $-\sin x$ si el ángulo está en radianes. Media vuelta son $\pi$ radianes, lo mismo que 180°. Si dentro hay algo como $2x$, necesitas también la regla de la cadena.

Prueba con un ejemplo pequeño

Deriva $x^2e^x$.

1. La expresión $x^2e^x$ es un producto, no una suma. Escoge $u=x^2$ y $v=e^x$ para saber qué representa cada letra de la regla.
2. Deriva cada parte: $u'=2x$ y $v'=e^x$.
3. Escribe primero los dos términos sin simplificar: $u'v=(2x)e^x$ y $uv'=x^2(e^x)$. La regla pide sumarlos.
4. Por tanto, $f'(x)=2xe^x+x^2e^x$. Como ambos llevan $e^x$, puedes escribir $e^x(2x+x^2)$; multiplicar ese paréntesis recupera la suma.

$f'(x)=e^x(2x+x^2)$.

Derivada: cuánto cambia una cantidad en ese momento

Supón que a los $t$ segundos has recorrido $t^2$ metros. A los 2 s llevas 4 m y a los 2,1 s, 4,41 m. En ese tramo has avanzado 0,41 m en 0,1 s: la velocidad media es $0{,}41/0{,}1=4{,}1$ m/s.

Si comparas tiempos cada vez más próximos a 2 s, las velocidades medias se acercan a 4 m/s. Esa velocidad justo en 2 s es la derivada en ese momento. La fórmula $f(t)=t^2$ tiene derivada $f'(t)=2t$, que en $t$ igual a 2 vale 4.

En una gráfica, la misma idea mide cuánto sube o baja el dibujo por cada pequeño avance horizontal: eso es la pendiente. Derivada positiva indica que sube; negativa, que baja. Si vale 0, la dirección es horizontal, pero aún hay que comprobar si es una cima, un valle o ninguna de las dos.

Prueba con un ejemplo pequeño

Si $f(t)=t^2$ metros, ¿qué significan $f(3)=9$ y $f'(3)=6$?

1. $f(3)$ pregunta cuánto se ha recorrido a los 3 s. Pon 3 en la función: $f(3)=3^2=9$ metros.
2. $f'(3)$ pregunta la velocidad justo ahí. Para $t^2$, la regla de la potencia da $2t^{2-1}=2t$: esa es $f'(t)$.
3. Pon ahora 3 en la derivada: $f'(3)=2\cdot3=6$ metros por segundo. No tiene las mismas unidades que los 9 metros.
4. Para un tiempo muy pequeño de 0,01 s, usa velocidad por tiempo: $6\cdot0{,}01=0{,}06$ m aproximadamente. La aproximación es local porque la velocidad cambia con $t$.

A los 3 s llevas 9 m y vas a 6 m/s.

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