Funciones: resultados, gráficas y cambios

Supón que un trayecto cobra 2 € al empezar y 3 € por kilómetro. El precio se forma así: cargo fijo + precio de cada kilómetro por distancia. Primero escribe $P=2+3\cdot\text{kilómetros}$; al llamar $x$ a la distancia, queda $P(x)=2+3x$.

A esa fórmula que asigna un resultado a cada número permitido la llamamos función. En $f(x)=2+3x$, la letra $f$ es su nombre. $f(2)$ significa «calcula el resultado para 2 km». A veces se dice que $x$ es la entrada y que el precio calculado es la salida.

La gráfica dibuja las parejas de distancia y precio. En $(2,8)$, el primer número se lee en horizontal y el segundo en vertical. Para encontrar el corte con el eje vertical, calcula $f(0)$. Para el corte con el horizontal, busca dónde el resultado vale 0, resolviendo $f(x)=0$.

En $1/(x-3)$, con $x$ igual a 2 obtienes −1 y con $x$ igual a 4 obtienes 1. Con 3 tendrías que dividir 1 entre 0 y no obtienes un número. Puedes usar todos los números reales salvo 3: esa lista de números permitidos se llama dominio.

Una raíz cuadrada solo admite números mayores o iguales que 0 en los reales. En $\sqrt{x-1}$, $x$ igual a 1 funciona porque queda $\sqrt0=0$; $x$ igual a 0 no, porque quedaría $\sqrt{-1}$. «Reales» son los números de la recta, como enteros, fracciones y decimales, también negativos.

$\ln x$ pregunta qué exponente necesita $e$ para dar $x$. El número $e$ vale aproximadamente 2,718: $\ln1=0$ porque $e^0=1$. Como una potencia real de $e$ nunca da 0 ni un número negativo, $\ln$ solo acepta números positivos. Si una fórmula tiene varias operaciones, $x$ debe permitir hacerlas todas.

Prueba $\dfrac{x^2-1}{x-1}$: con $x=0{,}9$ obtienes 1,9; con 0,99, obtienes 1,99; con 1,01, obtienes 2,01. Cuanto más cerca están esos números de 1, más cerca quedan sus resultados de 2.

Si pones exactamente 1, arriba queda $1^2-1=0$ y abajo $1-1=0$. La división $0/0$ no elige un resultado: dividir busca qué número multiplicado por el de abajo da el de arriba, y aquí tanto $0\cdot0$ como $5\cdot0$ dan 0. Por eso no podemos dibujar un punto de esta fracción justo en $x=1$.

Aun así podemos preguntar a qué número se acercan los resultados de alrededor. Aquí se acercan a 2: eso es el límite. Los números menores y mayores que 1 deben acercarse al mismo resultado. Unas pocas pruebas nos orientan; en los pasos de abajo veremos por qué la cuenta siempre funciona así cerca de 1.

La fracción $(x^2-1)/(x-1)$ no da un resultado con $x$ igual a 1, pero con números cercanos sus resultados se acercan a 2. Añade esta instrucción: «cuando $x$ sea exactamente 1, el resultado será 2». Así rellenas el punto que faltaba.

Si en cambio pones 7 en $x$ igual a 1, los puntos de alrededor siguen acercándose a 2 y aparece otro punto a altura 7. Para que la función sea continua, el resultado del propio punto debe coincidir con lo que llega desde ambos lados.

En una función con varias fórmulas, lee qué fórmula corresponde a cada lado del cambio y cuál incluye el propio punto. Comparar esos tres resultados permite elegir un valor que una los tramos sin salto ni hueco.

Para clasificar la discontinuidad, compara los dos límites laterales. Si coinciden en un número pero el punto falta o tiene otro valor, es evitable: puedes repararlo asignando ese número. Si ambos límites son finitos pero distintos, hay salto finito: cambiar solo el punto no junta los tramos. Si algún lado crece o baja sin límite, es de salto infinito y debes estudiar la asíntota vertical; un ejemplo es $1/x$ cerca de 0.

Supón que a los $t$ segundos has recorrido $t^2$ metros. A los 2 s llevas 4 m y a los 2,1 s, 4,41 m. En ese tramo has avanzado 0,41 m en 0,1 s: la velocidad media es $0{,}41/0{,}1=4{,}1$ m/s.

Si comparas tiempos cada vez más próximos a 2 s, las velocidades medias se acercan a 4 m/s. Esa velocidad justo en 2 s es la derivada en ese momento. La fórmula $f(t)=t^2$ tiene derivada $f'(t)=2t$, que en $t$ igual a 2 vale 4.

En una gráfica, la misma idea mide cuánto sube o baja el dibujo por cada pequeño avance horizontal: eso es la pendiente. Derivada positiva indica que sube; negativa, que baja. Si vale 0, la dirección es horizontal, pero aún hay que comprobar si es una cima, un valle o ninguna de las dos.

En $x^2+7$, todos los puntos están 7 más altos que en $x^2$, pero las diferencias entre ellos son iguales. Por eso ambas tienen derivada $2x$. En $3x^2$, las diferencias son tres veces mayores y la derivada es $6x$.

Al derivar una suma, deriva cada término. En $x^n$, usa $nx^{n-1}$. Para un producto $uv$, cuenta dos cambios: $u'v$ cambia la primera parte y conserva la segunda; $uv'$ hace lo contrario. Súmalos. Para una fracción $u/v$, la regla usa $u'v-uv'$ y después divide entre $v^2$; antes de sustituir identifica claramente qué va arriba y qué abajo.

Hay parejas que conviene recordar: $(e^x)'=e^x$ y $(\ln x)'=1/x$ para $x>0$. Las derivadas de seno y coseno son $\cos x$ y $-\sin x$ si el ángulo está en radianes. Media vuelta son $\pi$ radianes, lo mismo que 180°. Si dentro hay algo como $2x$, necesitas también la regla de la cadena.

Con $x$ igual a 0, $(3x+1)^2$ da primero 1 y después 1. Con $x$ igual a 0,01, da primero 1,03 y después 1,0609. El cambio de $x$ se multiplica por 3 antes de llegar al cuadrado.

Para derivar, empieza por lo que haces después: derivar un cuadrado da dos veces lo que está dentro, $2(3x+1)$. Luego multiplica por la derivada de lo que calculaste primero: la de $3x+1$ es 3. Eso es la regla de la cadena.

Funciona igual con otras funciones: en $e^{2x}$ conserva $e^{2x}$ y multiplica por 2. En $\ln(3x+1)$ escribe $1/(3x+1)$ y multiplica por 3. Antes de calcular, recuerda qué valores de $x$ permite la fórmula; en el logaritmo, $3x+1$ debe ser positivo.

En $\ln x/(x-1)$, poner 1 deja $0/0$. Con 1,1 el resultado es aproximadamente 0,9531 y con 1,01, 0,9950. Parece acercarse a 1, aunque en el propio 1 no podemos hacer la división.

L'Hôpital permite resolver ciertos límites así: deriva lo de arriba, deriva lo de abajo y vuelve a calcular el límite con esa nueva fracción. No calcules la derivada de la fracción entera; aquí las dos partes se derivan por separado.

Debe haber $0/0$ o $\infty/\infty$, y ambas partes deben tener derivada cerca del número al que te acercas. La derivada de lo de abajo no puede ser 0 en esos puntos cercanos; no hace falta exigirlo justo en el punto del límite. El límite de la nueva fracción debe existir, como número o como infinito.

En $y=x^2$, $x$ igual a 1 da altura 1. Cerca de ahí, aumentar $x$ en 0,01 aumenta $y$ aproximadamente en 0,02. Una recta que pase por $(1,1)$ y suba 2 por cada avance horizontal de 1 sigue esa misma dirección.

Esa recta es la tangente en el punto. Su pendiente es la derivada en 1, $f'(1)=2$. La altura del punto es $f(1)=1$. Necesitas los dos datos: uno dice por dónde pasa y otro cómo se inclina.

Su ecuación dice cuánto cambia la altura desde el punto conocido: ese cambio es la pendiente multiplicada por el avance horizontal. La recta se parece a la curva cerca del punto, pero no tiene por qué parecerse lejos de él.

La normal pasa por el mismo punto y forma 90 grados con la tangente. Si la pendiente de la tangente es $m\ne0$, la normal tiene pendiente $-1/m$: sus direcciones $(1,m)$ y $(1,-1/m)$ dan producto escalar $1+m(-1/m)=0$. Si la tangente es horizontal, $m=0$, la normal es vertical, $x=a$; no divides entre 0.

En $x^2-4x+3$, los valores $x$ igual a 0, 1, 2 y 3 dan 3, 0, −1 y 0. Los resultados bajan hasta −1 y después suben: aparece un mínimo en $x$ igual a 2.

Una derivada negativa indica que baja; positiva, que sube. Si cambia de negativa a positiva, hay un mínimo local. Si cambia de positiva a negativa, un máximo local. «Local» significa que lo comparas con los puntos cercanos, no necesariamente con toda la gráfica.

Si la función es continua en un tramo que incluye el principio y el final, puedes buscar el mayor y menor valor de todo ese tramo. Calcula $f$ en ambos bordes y en los $x$ interiores donde $f'=0$ o no haya derivada. Compara esos resultados: el mayor es el máximo absoluto y el menor, el mínimo absoluto.

En $x^2$, las pendientes en 0, 1 y 2 son 0, 2 y 4: aumentan. La curva se dobla hacia arriba. En $-x^2$ son 0, −2 y −4: disminuyen y la curva se dobla hacia abajo.

Para estudiar cómo cambian las pendientes, deriva una segunda vez. Esa segunda derivada se escribe $f''$. Si es positiva, las pendientes aumentan; si es negativa, disminuyen. Un punto de inflexión es un punto continuo de la curva donde cambia de un tipo de curvatura al otro.

No confundas curvatura con crecimiento: una función puede seguir subiendo y tener pendientes cada vez menores. Si $f'(a)=0$, una segunda derivada positiva confirma un mínimo local y una negativa confirma un máximo local. Si también vale 0, ese criterio no decide.

En $1+1/(x-2)$, poner 2,1 da 11 y poner 2,01 da 101. Al acercarte a 2 por la derecha, los resultados crecen sin límite. En cambio, con 100 da aproximadamente 1,0102 y con 1000, 1,0010: al alejarte, se acercan a 1.

La recta $x=2$ es una asíntota vertical: cerca de esa $x$, la altura crece o disminuye sin límite por al menos uno de los lados. La recta $y=1$ es una asíntota horizontal: las alturas se acercan a 1 cuando $x$ se aleja hacia un extremo.

También puede acercarse a una recta inclinada. En $x+1/x$, restar la recta $y=x$ deja $1/x$, que se acerca a 0: es una asíntota oblicua. Para buscar $y=mx+n$, piensa que $(mx+n)/x=m+n/x$ se acerca a $m$. Por eso busca $m=\lim f(x)/x$; después restar $mx$ deja la altura que falta, $n=\lim(f(x)-mx)$. Usa el mismo extremo en ambos límites; deben ser finitos y $m\ne0$.