Distribuciones: contar resultados y leer porcentajes

Lanzas dos monedas. Cara-cara da 2 caras; cara-cruz y cruz-cara dan 1; cruz-cruz da 0. Si solo quieres saber cuántas caras hay, esos números resumen lo que te interesa.

Ese número, que depende del resultado del experimento, es una variable aleatoria. Lo llamamos $X$. Su distribución dice qué valores puede tomar y qué probabilidad tiene cada uno. Para $X$ igual a 1, reúne las dos maneras de obtener una cara.

Si cuentas caras, los valores son separados: 0, 1 o 2, nunca 1,5. Es una variable discreta. Una medida como la altura puede representarse con valores a lo largo de un intervalo: es continua. En la normal, que es continua, las probabilidades se leen como áreas entre límites.

Contestas al azar 5 preguntas con 4 opciones y una correcta. Cada pregunta tiene varias respuestas, pero para contar aciertos solo separas correcta e incorrecta. Puedes acertar 0, 1, 2, 3, 4 o 5.

Usas la binomial si se cumplen cuatro cosas: el número de intentos está fijado, cada uno se clasifica en éxito o fallo, la probabilidad de éxito es siempre la misma y un intento no cambia la de los demás. Aquí, si eliges cada respuesta al azar e independientemente, $p$ es $1/4$ y $n$ es 5.

«Éxito» significa lo que estás contando, no necesariamente algo bueno: puede ser una pieza defectuosa. Si sacas sin devolver, cambian las probabilidades. Si pruebas hasta acertar, no has fijado el número de intentos. Ninguno de esos casos es una binomial exacta.

En tres intentos, dos éxitos pueden aparecer como éxito-éxito-fallo, éxito-fallo-éxito o fallo-éxito-éxito. Con probabilidad de éxito 0,2, cada secuencia tiene $0{,}2\cdot0{,}2\cdot0{,}8=0{,}032$. Las tres juntas tienen $3\cdot0{,}032=0{,}096$.

Para escribir esa cuenta sin listar todos los órdenes, usamos $p^k$: son $k$ éxitos con probabilidad $p$ cada uno. Los $n-k$ intentos restantes son fallos, cada uno con probabilidad $1-p$; aportan $(1-p)^{n-k}$. Multiplica ambas partes para un orden concreto y luego por $\binom nk$, el número de formas de elegir las posiciones de los éxitos. Esa es la fórmula binomial.

En la calculadora suele llamarse $\operatorname{nCr}$. A mano puedes usar $n!/[k!(n-k)!]$. El signo ! es factorial: $4!=4\cdot3\cdot2\cdot1$ y $0!=1$. Cuenta qué posiciones eliges, sin repetir una elección solo por nombrar sus posiciones en otro orden.

En tres monedas, exactamente una cara solo incluye 1. Como mucho una incluye 0 y 1. Al menos una incluye 1, 2 y 3. Cambiar la frase cambia los números que debes contar.

La probabilidad acumulada hasta $k$ suma la de todos los valores menores o iguales que $k$. En una calculadora, «puntual» da la probabilidad de un único valor; «acumulada» da el total hasta el indicado.

Para al menos una, puedes quitar del total el único caso que no sirve: ninguna cara. El total de todos los casos es 1. Para al menos $k$, quita los casos de 0 a $k-1$; deja $k$ incluido.

Un premio da 0 o 4 puntos, cada uno con probabilidad 1/2. Si se repite muchas veces, esperas aproximadamente tantos ceros como cuatros: el promedio se acerca a 2. Esa media no es un premio posible; en un intento solo recibes 0 o 4.

Los dos premios están a distancia 2 de la media. Para medir la separación sin que −2 y +2 se anulen al sumar, elevamos cada diferencia al cuadrado. Su promedio es 4: eso es la varianza.

La raíz de 4 vuelve a expresar la separación en puntos: 2. Es la desviación típica. Se escribe $\sigma$, y la media, $\mu$. La varianza es $\sigma^2$. En una binomial puedes calcular directamente $\mu=np$ y $\sigma^2=np(1-p)$; después toma la raíz para obtener la desviación.

Imagina un modelo de alturas con media 170 cm. Hay más alturas cerca de 170 y menos lejos; el dibujo tiene forma de campana. La mitad queda a cada lado del centro porque el modelo es simétrico.

La distribución normal usa esa forma. La media fija el centro y la desviación típica indica cuánto se extiende: con desviación 10 cm está más extendida que con 5 cm. Esas desviaciones no son límites fuera de los que no pueda haber valores.

La probabilidad entre dos alturas es el área bajo la curva entre ellas. Toda la campana tiene área 1. Un punto exacto no tiene anchura y su área es 0; medir 170 cm redondeando representa un intervalo alrededor de 170, no una precisión infinita. No leas la altura de la curva como si fuera una probabilidad.

Media 170 cm, desviación 5 cm: 180 queda 10 cm por encima, es decir, dos desviaciones. 165 queda 5 cm por debajo, una desviación por debajo. En la nueva escala esos valores son 2 y −1.

Ese cambio se llama tipificar y el resultado se llama $z$. Restar la media pone el centro en 0; dividir por la desviación hace que una desviación valga 1. El signo indica si estás por encima o por debajo.

Si $X$ es normal, $Z$ sigue la normal estándar, de media 0 y desviación 1. Aquí $\mu$ es la media y $\sigma$ la desviación. Para recuperar un valor original $x$, parte de $z=(x-\mu)/\sigma$. Multiplica ambos lados por $\sigma$: $\sigma z=x-\mu$. Suma $\mu$ a ambos y queda $x=\mu+\sigma z$: vuelves a las unidades originales.

En una tabla que da área a la izquierda, junto a 1,23 aparece 0,8907. Significa que antes de 1,23 queda el 89,07 %. A su derecha queda $1-0{,}8907=0{,}1093$, o 10,93 %.

Esa área izquierda se escribe $\Phi(z)$. Entre dos límites, resta el área izquierda del menor a la del mayor. Para un límite negativo, usa la simetría: la cola izquierda de −1,23 tiene el mismo tamaño que la cola derecha de +1,23.

Si la tabla solo da el área entre 0 y un $z$ positivo, suma 0,5 para obtener toda la izquierda. En las tablas con décimas en las filas y centésimas en las columnas, 1,23 se busca en la fila 1,2 y la columna 0,03. Incluir el propio extremo no cambia el área en una normal.

En 100 monedas equilibradas, la media de caras es 50. «Como mucho 50» incluye el número 50 completo. Si lo dibujas como una franja de 49,5 a 50,5, cortar la campana justo en 50 dejaría fuera media franja que sí necesitas.

Con bastantes intentos y $p$ no muy cercana a 0 o 1, puedes aproximar la binomial por una normal de media $np$ y desviación $\sqrt{np(1-p)}$. Un criterio prudente habitual pide $np\geq10$ y $n(1-p)\geq10$; algunos ejercicios usan 5. Sigue el que te indiquen. En probabilidades muy pequeñas de los extremos la aproximación puede ser peor.

Para incluir la franja completa, «hasta $k$» acaba en $k+0{,}5$; «desde $k$» empieza en $k-0{,}5$; «exactamente $k$» va de $k-0{,}5$ a $k+0{,}5$. Ese ajuste se llama corrección de continuidad. Para «menos de $k$», el último entero incluido es $k-1$. El resultado es aproximado, no una probabilidad binomial exacta.

El valor $z$ dice cuántas desviaciones está una medida por encima o por debajo de la media. Para volver a la medida original, multiplica ese número por el tamaño de una desviación y suma la media: $x=\mu+\sigma z$.

Si conoces dos parejas distintas de $x$ y $z$, cada una describe la misma escala. Resta las dos ecuaciones para que desaparezca la media y calcula primero $\sigma$. Después sustituyes para encontrar $\mu$.

Si el 60 % de las alturas queda en un intervalo centrado en la media, fuera queda el 40 %. La normal es simétrica: un 20 % queda por debajo y otro 20 % por encima. El límite superior deja a su izquierda el 20 % inferior y el 60 % central: acumula un 80 %.

Leer una tabla en sentido directo significa introducir una coordenada $y$ obtener un área. Aquí haces el recorrido inverso: buscas el área $0{,}8$ entre los datos de la tabla y lees la coordenada $z$ que le corresponde. Esa coordenada cuenta desviaciones desde la media; todavía no es una altura ni una probabilidad.

Para volver a las medidas originales usa $x=\mu+\sigma z$, donde $\mu$ es la media y $\sigma>0$ la desviación típica. En un intervalo central simétrico, los límites estándar son $-z$ y $z$. Sus medidas originales son $\mu-\sigma z$ y $\mu+\sigma z$.

Si te piden un solo límite con un porcentaje a su izquierda, busca directamente ese porcentaje acumulado. Si el porcentaje está a la derecha, réstalo de 1 antes de consultar la tabla. Repartir en dos colas solo corresponde a un intervalo central simétrico.