Funciones, límites y derivadas desde cero

Un trayecto cuesta 2 € de salida y 3 € por kilómetro. Si recorres 0 km, cuesta 2 €; si recorres 1, cuesta 5 €; si recorres 2, cuesta 8 €. Tú eliges la distancia y la regla te da el precio.

Esa regla es una función. Llamamos $x$ a la entrada, aquí la distancia, y $f(x)$ a la salida, aquí el precio: $f(x)=2+3x$. Leer $f(2)$ es preguntar «¿qué precio corresponde a 2 km?». La letra $f$ solo pone nombre a la regla.

Para dibujarla, sitúa la distancia en horizontal y el precio en vertical: $(2,8)$ significa 2 a lo largo y 8 de altura. Una gráfica muestra esas parejas. Donde corta el eje horizontal, la salida vale 0; donde corta el vertical, la entrada vale 0. Mira los números de los ejes antes de contar cuadritos.

En la regla $1/(x-3)$, introducir 2 da $-1$ e introducir 4 da 1. Introducir 3 dejaría $1/0$: esa entrada no sirve. La lista de entradas que sí sirven se llama dominio.

Cada operación pone su condición. Una raíz cuadrada acepta 0 y números positivos: en $\sqrt{x-1}$ sirve $x=1$, pero no $x=0$, que dejaría una raíz de $-1$ dentro de los números reales. Los reales son los números habituales de la recta: enteros, fracciones y decimales, también negativos.

Un logaritmo deshace una potencia: $\ln x$ pregunta qué exponente de $e$ produce $x$. El número $e$ vale aproximadamente 2,718; $\ln1=0$ porque $e^0=1$. Como $e^x$ siempre da una salida positiva, $\ln x$ solo admite entradas positivas. Si hay varias operaciones, la entrada debe superar todas sus condiciones.

Prueba la regla «eleva la entrada al cuadrado, resta 1 y divide entre la entrada menos 1». Con 0,9 sale 1,9; con 0,99 sale 1,99; con 1,01 sale 2,01. Las entradas se acercan a 1 y las salidas a 2. Pero introducir exactamente 1 exige dividir 0 entre 0: esa regla no da una salida en 1.

Podemos responder «las salidas se acercan a 2» sin inventar la salida que falta. Esa respuesta se llama límite. En la gráfica hay un hueco en el punto donde entrada 1 y salida 2 se encontrarían: los puntos vecinos se acercan al hueco, pero la regla original no lo rellena.

Comprueba ambos lados: 0,99 llega desde entradas menores y 1,01 desde mayores. Si cada lado apuntase a una altura distinta, no habría un único límite. Si ves $\infty$, significa «crecer sin un tope», no una entrada o una salida que puedas sustituir como un número.

Vuelve a la regla $(x^2-1)/(x-1)$: cerca de la entrada 1, sus salidas se acercan a 2. Imagina que añadimos una instrucción: «si la entrada es exactamente 1, devuelve 2». El hueco queda rellenado donde estaban llegando los puntos vecinos.

Si añadimos «en 1 devuelve 7», los vecinos siguen cerca de la altura 2, pero aparece un punto aparte a la altura 7. Llegar exactamente y acercarse ya no llevan a lo mismo. Cuando sí coinciden, decimos que la función es continua en ese punto.

Con dos reglas distintas, comprueba lo que hace cada una al llegar al cambio de tramo. Necesitas que ambas lleguen a la misma salida y que esa sea también la salida asignada al punto. Esto sirve para elegir el valor que une dos tramos sin dejar un salto o un hueco.

Un movimiento sigue la regla «a los $t$ segundos, el recorrido es $t^2$ metros». A los 2 s lleva 4 m y a los 2,1 s lleva 4,41 m. En ese pequeño tramo avanza 0,41 m en 0,1 s: su rapidez media es 4,1 m/s.

Si haces el tramo de tiempo cada vez menor alrededor de 2, esas velocidades medias se acercan a 4 m/s. Esa rapidez justo en el momento 2 es una derivada. Para la regla $f(t)=t^2$, la regla de rapidez es $f'(t)=2t$ y en 2 da 4.

En una gráfica, esta misma cuenta mide inclinación: cambio de altura por cambio horizontal. Una derivada positiva indica que la salida aumenta al avanzar un poco; una negativa, que disminuye. La función da la altura y la derivada da cómo cambia. Una inclinación cero puede ser una cima, un valle o un sitio que sigue subiendo después.

Si a $x^2$ le añades 7, todas las alturas suben 7, pero los cambios entre una altura y la siguiente son los mismos. Por eso la derivada de $x^2+7$ sigue siendo $2x$. Si triplicas todas las alturas, triplicas sus cambios: la derivada de $3x^2$ es $6x$.

Estas observaciones se organizan en reglas de derivación. En una suma deriva cada término. En una potencia $x^n$, baja el exponente como multiplicador y reduce el exponente en una unidad, donde esa potencia sea derivable. En un producto cambian los dos factores: hay que contar la aportación de cada uno.

Algunas parejas se reconocen directamente: la derivada de $e^x$ es $e^x$; la de $\ln x$ es $1/x$ para $x>0$. Las de seno y coseno son $\cos x$ y $-\sin x$. Usan radianes: media vuelta son $\pi$ radianes, equivalentes a 180°. Si dentro hay otra expresión, completa la cuenta con la regla de la cadena.

En $(3x+1)^2$, introducir 0 produce primero 1 y después 1. Introducir 0,01 produce primero 1,03 y después 1,0609. El pequeño aumento de $x$ se amplifica por 3 antes de llegar al cuadrado: no puedes contar solo el cambio de elevar al cuadrado.

La regla de la cadena cuenta esa combinación. Deriva la operación exterior como si su entrada fuera una sola pieza; luego multiplica por cuánto cambia la pieza interior. En este caso, el cuadrado aporta $2(3x+1)$ y el interior aporta 3.

Sirve para cualquier cuenta hecha por capas. En $e^{2x}$, la exponencial aporta $e^{2x}$ y su entrada aporta 2. En $\ln(3x+1)$, el logaritmo aporta $1/(3x+1)$ y su entrada aporta 3. Mantén también las restricciones de la función original.

En $\ln x/(x-1)$, introducir 1 deja $0/0$. Con 1,1 la salida es aproximadamente 0,9531 y con 1,01, aproximadamente 0,9950. Ambas partes de la fracción se acercan a cero, pero su cociente parece acercarse a 1.

L'Hôpital permite justificar ciertos límites así comparando cómo cambian numerador y denominador. Deriva cada uno por separado y busca el límite de la nueva fracción. No estás derivando la fracción completa: la regla del cociente daría otra cosa.

Solo se aplica directamente a las formas $0/0$ o $\infty/\infty$. Además, ambas partes deben ser derivables en los puntos cercanos, la derivada del denominador no debe anularse en esos puntos y el nuevo cociente debe tener límite, finito o infinito. No exige que la derivada del denominador sea distinta de cero exactamente en el punto al que te acercas.

En la curva $y=x^2$, la entrada 1 da altura 1. La entrada 1,01 da 1,0201: alrededor de ahí, avanzar 0,01 aumenta la altura aproximadamente 0,02. Una recta que pase por $(1,1)$ y suba 2 por cada avance de 1 imita esa dirección.

Esa recta se llama tangente. Su inclinación, o pendiente, es la derivada en el punto: aquí $f'(1)=2$. La altura del punto sigue saliendo de la función original: $f(1)=1$. No puedes sustituir uno de esos datos por el otro.

Desde el punto conocido, la recta dice «nuevo cambio de altura = pendiente por nuevo avance horizontal». Eso explica su ecuación. La imitación funciona cerca del contacto, no garantiza reproducir toda la curva.

En la regla $x^2-4x+3$, las entradas 0, 1, 2 y 3 dan alturas 3, 0, −1 y 0. Primero bajamos y después subimos: alrededor de la entrada 2 aparece un valle.

La derivada explica ese cambio: es negativa antes de 2 y positiva después. Un tramo con derivada negativa baja; con positiva sube. El valle es un mínimo local; una cima, donde sube y después baja, es un máximo local. «Local» significa comparado con los puntos cercanos.

Una pendiente cero solo señala un lugar a revisar: puede no cambiar el sentido. Si te piden el mejor valor de todo un intervalo cerrado y la función es continua allí, compara también las alturas de sus extremos y de los puntos interiores donde no sea derivable. El mayor o menor entre todos esos candidatos es absoluto.

En $x^2$, las pendientes en 0, 1 y 2 son 0, 2 y 4: van aumentando. La curva se dobla como un cuenco abierto hacia arriba. En $-x^2$, son 0, −2 y −4: van disminuyendo y el cuenco queda abierto hacia abajo.

Para medir ese cambio de pendientes derivamos otra vez. Se llama segunda derivada y se escribe $f''$. Positiva significa pendientes que aumentan; negativa, pendientes que disminuyen. Si el sentido de curvatura cambia al atravesar un punto continuo de la curva, ese punto es de inflexión.

Esto no es lo mismo que subir o bajar: puedes seguir subiendo con pendientes cada vez menores. En un punto con pendiente cero, una segunda derivada positiva asegura un mínimo local y una negativa, un máximo local. Si la segunda derivada vale cero, no decide; debes revisar qué ocurre a los lados.

En $1+1/(x-2)$, introducir 2,1 da 11 e introducir 2,01 da 101: cuanto más cerca de 2 por la derecha, más alta queda la salida. En cambio, con 100 sale aproximadamente 1,0102 y con 1000, 1,0010: al alejar la entrada, la salida se acerca a la altura 1.

La recta vertical $x=2$ guía la zona donde las alturas crecen sin tope: es una asíntota vertical. La recta horizontal $y=1$ guía el extremo lejano: es una asíntota horizontal. Las primeras se comprueban con límites cerca de una entrada; las segundas, alejando las entradas hacia uno de los dos extremos.

La recta que guía el extremo también puede estar inclinada. En $x+1/x$, por ejemplo, la distancia vertical a la recta $y=x$ es $1/x$ y se acerca a 0 al alejarse: es una asíntota oblicua. Para una recta $y=mx+n$, puedes buscar $m$ con el límite de $f(x)/x$ y luego $n$ con el de $f(x)-mx$, siempre en el mismo extremo; ambos deben ser finitos y $m\ne0$.

Tienes 20 m de cuerda para cerrar un rectángulo. Unos lados de 2 m y 8 m dan área 16 m²; unos de 5 m y 5 m dan 25 m². Gastan la misma cuerda, pero no dan la misma superficie. Queremos saber cuál gana entre todas las elecciones.

Buscar el mejor valor se llama optimizar. Llama $x$ a un lado; como los cuatro lados suman 20, el otro mide $10-x$. Ya puedes calcular el área de cualquier elección con una sola entrada: $A(x)=x(10-x)$.

Después estudias cuándo esa área deja de subir y empieza a bajar. Eso usa la derivada, pero elegir la regla correcta va primero. Las longitudes deben ser positivas y la respuesta final tiene que volver a los metros y metros cuadrados del problema.