La idea antes del cálculo
La continuidad conecta límites laterales con el valor de la función. La derivada describe el cambio y permite buscar candidatos a extremos. En una optimización, el dominio representa también las restricciones del problema.
Antes de empezar
- Lee qué propiedad se pide y escribe el dominio.
- Igualar la derivada a cero no clasifica por sí solo un extremo.
- En una optimización, comprueba que el resultado tiene sentido dentro del dominio físico.
Si falta alguna idea, vuelve a funciones y derivadas desde la base y reconstruye un ejemplo antes de intentar estos ejercicios.
¿Qué valor de t hace continua la función en x=1?
El valor en el punto y los límites laterales deben coincidir para que la función sea continua allí.
Haz un intento en papel y explica el primer paso. Abre después la solución para comparar.
Ver la solución paso a paso
- El límite por la izquierda es 1+t.
- El límite por la derecha y f(1) valen 4.
- 1+t=4, así que t=3.
Resultado: 3
Comprueba tu respuesta
Escribe por separado los dos límites y el valor de la función en el punto de unión.
¿En qué x está el mínimo?
Busca primero un punto crítico y clasifícalo con el signo de la derivada o una condición suficiente con la segunda derivada.
Haz un intento en papel y explica el primer paso. Abre después la solución para comparar.
Ver la solución paso a paso
- f′(x)=2x−6.
- f′(x)=0 implica x=3.
- f″(x)=2>0: hay un mínimo. f(3)=1.
Resultado:
Comprueba tu respuesta
Calcula también la ordenada y comprueba el punto sustituyendo en la función inicial.
Un rectángulo tiene perímetro P. ¿Qué longitud x maximiza su área?
Expresa la cantidad que quieres optimizar en función de una variable y usa las restricciones para fijar el intervalo.
Haz un intento en papel y explica el primer paso. Abre después la solución para comparar.
Ver la solución paso a paso
- 2x+2y=32, así que y=16−x.
- A(x)=x(16−x), con 0<x<16.
- A′=16−2x=0 da x=8; A″=−2<0. Es un cuadrado de área 64.
Resultado:
Comprueba tu respuesta
Compara el candidato con los extremos del dominio que correspondan y explica por qué representa un máximo o un mínimo.
Qué repasar después del intento
Si el planteamiento falla, vuelve al concepto o a la condición que faltaba. Si falla una operación, conserva el método y practica ese paso. Si el resultado sale pero no puedes explicarlo, escribe de nuevo la conclusión conectándola con la pregunta.
No hace falta abrir tres bloques nuevos al acabar. Elige una dificultad concreta para la próxima sesión y recupérala unos días después. La guía para estudiar selectividad te ayuda a organizar ese repaso.
Sobre estos ejercicios
Material original de entrenaselectividad.com para practicar técnicas de Matemáticas II. Cada solución propone una comprobación para contrastar tu procedimiento. Nuestra metodología explica cómo distinguimos las respuestas comprobadas y la autoevaluación.