Geometría: ¿dónde estás y cuánto debes moverte?

Para indicar un lugar en un patio, toma una esquina como referencia: «1 metro a la derecha, 2 hacia el fondo y 0 de altura» queda escrito como $A=(1,2,0)$. Otro lugar, $B=(4,1,2)$, está 4 a la derecha, 1 al fondo y 2 más arriba. Los tres números se llaman coordenadas; su orden corresponde siempre a esas tres direcciones, llamadas ejes.

Para ir de A a B, necesitas avanzar 3 a la derecha, retroceder 1 hacia la entrada y subir 2: el cambio es $(3,-1,2)$. Esa lista de cambios se llama vector y se escribe $\overrightarrow{AB}=B-A$. Un punto dice dónde estás; un vector dice cuánto cambias de lugar. Por eso restas llegada menos salida.

Si haces ese mismo movimiento desde $(0,0,0)$, llegas a $(3,-1,2)$: el vector no depende de dónde empieces. Dos veces el movimiento es $(6,-2,4)$; apunta en la misma dirección, con doble recorrido. Un múltiplo negativo recorre esa dirección en sentido contrario. Estos movimientos permiten construir rectas y comparar posiciones en un examen.

En un patio avanzas 3 metros a la derecha y 4 hacia el fondo. Si recorres primero un lado y luego el otro, caminas 7 metros; si vas directo al destino, la diagonal mide 5. Puedes comprobarlo con $3^2+4^2=5^2$. Buscamos esa distancia directa, no la suma de dos trayectos.

El desplazamiento es $\vec u=(3,4,0)$. Su longitud se llama módulo y se escribe $|\vec u|$: aquí vale $\sqrt{3^2+4^2+0^2}=5$. La raíz convierte la suma de cuadrados en una longitud. Para hallar la distancia entre dos puntos, construye antes el vector que los une y calcula ese módulo.

Si quieres la misma dirección con longitud 1, divide las componentes por 5: $(3/5,4/5,0)$. Su módulo ya es 1. Se llama vector unitario y el cambio se llama normalizar. En el examen ayuda a recorrer una distancia concreta: para recorrer 2 en esa dirección, multiplicas el unitario por 2.

En el suelo cuadriculado, un desplazamiento $(1,0,0)$ va a la derecha y $(0,2,0)$ hacia el fondo. Forman la esquina de un cuadrado: un ángulo de 90 grados. Si en lugar del segundo eliges $(2,0,0)$, ambos van a la derecha; con $(-2,0,0)$, van en sentidos contrarios.

Una cuenta distingue esas tres situaciones: multiplica las componentes que ocupan el mismo lugar y suma. En los ejemplos obtienes 0, 2 y $-2$, respectivamente. Esta cuenta se llama producto escalar y devuelve un número. Con dos vectores no nulos, cero indica un ángulo recto: decimos que son perpendiculares u ortogonales.

Un resultado positivo corresponde a un ángulo menor de 90 grados; uno negativo, mayor de 90. En el examen puedes comprobar si dos direcciones forman una esquina recta sin dibujarlas a escala. Más adelante, al comparar el resultado con las longitudes, podrás obtener el ángulo completo.

Sobre el suelo, una flecha $(1,0,0)$ marca un lado de longitud 1 y otra $(0,2,0)$ un lado de longitud 2. Forman un rectángulo de área 2. Una flecha que sale hacia arriba forma una esquina recta con ambos lados: por ejemplo, $(0,0,2)$. Ahora tenemos una dirección que no sigue el suelo.

El producto vectorial reúne esas dos cosas: para las flechas anteriores devuelve $(0,0,2)$, un vector que forma 90 grados con las dos, y cuya longitud numérica vale el área 2. Se escribe $\vec u\times\vec v$. Si los dos lados estuvieran en la misma línea, como $(1,0,0)$ y $(2,0,0)$, el área sería cero y la cuenta devolvería $(0,0,0)$.

Con lados que no forman 90 grados, la figura de cuatro lados se llama paralelogramo: sus lados opuestos mantienen la misma dirección. La longitud del producto vectorial sigue dando su área. Un triángulo construido con los mismos dos lados tiene la mitad. En el examen, úsalo para áreas y para encontrar una dirección perpendicular a dos vectores dados.

Una caja tiene bordes de longitudes 1, 2 y 3 en las tres direcciones: su volumen es 6. Sus bordes pueden escribirse $(1,0,0)$, $(0,2,0)$ y $(0,0,3)$. Si cambias el tercero por $(1,1,0)$, ya no hay altura: los tres movimientos permanecen sobre el suelo y no construyen una caja con volumen.

Para una caja inclinada también puedes obtener el volumen con estos bordes: haz el producto vectorial de dos y luego el escalar con el tercero. La cuenta se llama producto mixto. En el primer caso da 6; en el segundo da 0. El valor absoluto elimina el signo de orientación y da un volumen no negativo.

En el segundo caso, el tercer movimiento es $(1,1,0)=(1,0,0)+(1/2)(0,2,0)$: lo reconstruyes con los otros dos. Los tres están en un mismo plano y se llaman coplanarios o linealmente dependientes. Si el producto mixto no es cero, no puedes reconstruir ningún borde con los otros y se llaman independientes. En el examen, sirve para decidirlo y para volúmenes: el tetraedro, una pirámide de cuatro vértices, ocupa la sexta parte de la caja de sus tres bordes.

Estás en $(1,2,0)$ y cada avance cambia tu posición en $(2,-1,0)$. Después de un avance estás en $(3,1,0)$; tras dos, en $(5,0,0)$; con medio avance, en $(2,1{,}5,0)$. Todos esos puntos siguen el mismo recorrido recto.

Para recoger cualquier avance, llama t a cuánto recorres de ese cambio: $(x,y,z)=(1,2,0)+t(2,-1,0)$. El punto fijo es el inicio y el vector $(2,-1,0)$ se llama director porque marca la dirección de la recta. t es el parámetro: con 0 no te mueves, con 1 haces un avance y con un número negativo vas hacia atrás.

Por coordenadas escribes $x=1+2t$, $y=2-t$, $z=0$: son sus ecuaciones paramétricas. Despejar t donde puedas da $(x-1)/2=(y-2)/(-1)$ y $z=0$, la forma continua. La tercera coordenada no cambia, por eso se escribe aparte y nunca como una división por 0. En el examen, estas formas permiten buscar un punto común o comprobar pertenencia.

Un suelo situado a altura 2 contiene puntos como $(0,0,2)$, $(1,0,2)$ y $(0,1,2)$. Puedes moverte a la derecha o al fondo sin abandonarlo; si subes con el movimiento $(0,0,1)$, sí lo abandonas. El suelo ideal, prolongado sin bordes, es un plano; el movimiento vertical forma 90 grados con cualquier dirección sobre él.

Una flecha así se llama normal del plano. Para el suelo anterior puede ser $(0,0,1)$ y su ecuación es $z-2=0$: todos sus puntos deben tener altura 2. Un plano inclinado también se describe con un punto P y una normal n. Cualquier desplazamiento entre P y otro punto del plano debe dar producto escalar cero con n, para seguir sobre la superficie.

Si $P=(1,0,2)$ y $\vec n=(1,2,-1)$, esa condición es $(x-1)+2y-(z-2)=0$, luego $x+2y-z+1=0$. Al subir x en 1, debes subir z en 1 para seguir cumpliéndola. La forma $ax+by+cz+d=0$ se llama ecuación general: $(a,b,c)$ es una normal y d fija la posición. También puedes recorrer el plano con dos movimientos no paralelos: $P+s\vec u+t\vec v$.

Dos recorridos por el suelo pueden encontrarse en una esquina. Pero imagina un recorrido horizontal a altura 0 y otro que va hacia el fondo por un puente a altura 1. Desde arriba parecen cortarse, aunque en el espacio uno pasa por debajo: no comparten ningún punto.

El primer recorrido puede escribirse $r:(x,y,z)=(t,0,0)$ y el segundo $s:(x,y,z)=(0,u,1)$. Para coincidir deberían cumplir a la vez $t=0$, $u=0$ y $0=1$. La última condición es imposible. Como tampoco siguen la misma dirección, se llaman rectas que se cruzan: no se cortan y no existe un plano que contenga ambas.

En el examen, compara primero los directores. Si uno es múltiplo del otro, las rectas son paralelas o la misma recta; prueba un punto para distinguirlas. Si no son múltiplos, iguala sus coordenadas con un parámetro distinto para cada recta. Para recta y plano, sustituye la recta en el plano: un parámetro concreto da un punto de corte; $0=0$ siempre cierto da toda la recta contenida; una contradicción da una recta paralela sin tocarlo.

Estás en $P=(1,2,4)$ y quieres llegar al suelo situado a altura 1. Bajar directamente hasta $(1,2,1)$ recorre 3. Si además te desplazas 3 a la derecha, hasta $(4,2,1)$, recorres $\sqrt{3^2+3^2}$, que es mayor que 3. La distancia al suelo es el camino más corto: no incluye un desvío lateral.

Ese camino forma un ángulo de 90 grados con el plano: sigue su normal. En $z-1=0$, sustituir P da 3 y la normal $(0,0,1)$ mide 1, luego la distancia es $3/1$. Si escribieras el mismo suelo como $2z-2=0$, obtendrías 6, pero la normal mediría 2: $6/2=3$. Dividir por la longitud de la normal evita que cambiar cómo escribes la ecuación cambie la distancia.

Para un plano inclinado haces la misma cuenta, usando valor absoluto para que no salga una distancia negativa. Para punto y recta, el área del paralelogramo de su director y el desplazamiento hacia el punto, dividida por la longitud del director, da su altura: el camino más corto. Entre figuras que se tocan la distancia es cero; entre paralelas, basta tomar un punto de una y medir su distancia a la otra.

Una dirección $(1,0,0)$ va a la derecha. Otra $(1,1,0)$ avanza lo mismo a la derecha y al fondo: corta por la mitad una esquina de 90 grados, así que esperamos 45. Queremos una cuenta que también funcione cuando las dos componentes no son iguales y el dibujo no permita leer el ángulo.

El producto escalar de esas flechas es 1 y sus longitudes son 1 y $\sqrt2$. El cociente $1/\sqrt2$ es el coseno de 45 grados. El coseno relaciona un ángulo con un número; arccos hace el recorrido contrario y devuelve el ángulo a partir de ese número. Por eso calculas $\arccos(1/\sqrt2)$ para recuperar 45.

En un examen, usa directores para rectas y normales para planos. Si piden el ángulo menor entre rectas o planos, toma valor absoluto en el numerador. Para recta y plano, el director se compara con la normal, que sale a 90 grados de la superficie: el ángulo con esa flecha y el ángulo con la superficie suman 90. Por eso el ángulo recta-plano se recupera con seno y arcsen. Comprueba el modo grados o radianes de la calculadora.

El punto $P=(2,3,1)$ está separado de la recta del primer eje. Si llegas a $H=(2,0,0)$, eliminas los cambios 3 y 1 en las otras direcciones, sin avanzar ni retroceder por ese eje. Si fueras a $(0,0,0)$, añadirías además un desplazamiento de 2 en la primera dirección: sería más largo.

H se llama proyección ortogonal o pie de la perpendicular: es el punto de la recta al que llegas por el camino más corto. Para encontrarlo en otra recta, escribe $H=Q+t\vec v$; esa forma garantiza que está en ella. Después pide que $P-H$ forme 90 grados con el director: $(P-H)\cdot\vec v=0$. Esa condición decide t.

Sobre un plano, el camino más corto sigue su normal: traza desde P una recta con esa dirección y busca el corte con el plano. Si te piden el punto simétrico, continúas el mismo recorrido al otro lado la misma distancia. H queda exactamente a mitad: $P^{\prime}=2H-P$. En el ejemplo, el simétrico es $(2,-3,-1)$.