La idea antes del cálculo
Un punto expresa una posición. Un vector director indica una dirección y un vector normal es perpendicular a un plano. Elegir la herramienta adecuada exige distinguir esos tres papeles antes de operar.
Antes de empezar
- Identifica el punto, el director y la normal cuando aparezcan.
- Comprueba la posición relativa antes de aplicar una fórmula de distancia.
- En un área, distingue el paralelogramo del triángulo: el factor de un medio importa.
Si falta alguna idea, vuelve a geometría en el espacio desde la base y reconstruye un ejemplo antes de intentar estos ejercicios.
Encuentra el punto de corte de r con el plano.
Sustituir la parametrización de la recta en el plano permite encontrar el valor del parámetro de una intersección.
Haz un intento en papel y explica el primer paso. Abre después la solución para comparar.
Ver la solución paso a paso
- La recta tiene z=t.
- Al sustituir en el plano, t=4.
- El punto es (1+4,2·4,4)=(5,8,4).
Resultado: (5,8,4)
Comprueba tu respuesta
El punto obtenido debe satisfacer tanto la recta como la ecuación del plano.
Calcula la distancia del punto P al plano.
La distancia de un punto a un plano mide la separación perpendicular; se normaliza por el módulo de la normal.
Haz un intento en papel y explica el primer paso. Abre después la solución para comparar.
Ver la solución paso a paso
- d(P,π)=|APₓ+BPᵧ+CP𝓏+D|/√(A²+B²+C²).
- Aquí A=0, B=0, C=1 y D=0.
- d=|3|/1=3.
Resultado: 3
Comprueba tu respuesta
La distancia debe ser no negativa. Multiplicar toda la ecuación del plano por una constante no cambia la distancia.
Calcula el área del triángulo OAB.
El módulo del producto vectorial de dos lados da el área del paralelogramo que forman.
Haz un intento en papel y explica el primer paso. Abre después la solución para comparar.
Ver la solución paso a paso
- OA×OB=(0,0,32).
- Su módulo es 32.
- El área del triángulo es la mitad: 16 unidades cuadradas.
Resultado: 16
Comprueba tu respuesta
Divide entre dos para el triángulo y comprueba que usaste vectores con un origen común.
Qué repasar después del intento
Si el planteamiento falla, vuelve al concepto o a la condición que faltaba. Si falla una operación, conserva el método y practica ese paso. Si el resultado sale pero no puedes explicarlo, escribe de nuevo la conclusión conectándola con la pregunta.
No hace falta abrir tres bloques nuevos al acabar. Elige una dificultad concreta para la próxima sesión y recupérala unos días después. La guía para estudiar selectividad te ayuda a organizar ese repaso.
Sobre estos ejercicios
Material original de entrenaselectividad.com para practicar técnicas de Matemáticas II. Cada solución propone una comprobación para contrastar tu procedimiento. Nuestra metodología explica cómo distinguimos las respuestas comprobadas y la autoevaluación.