Inferencia: qué puedes saber de todos al preguntar a unos pocos

Si quieres conocer el gasto medio de todos los adultos de una ciudad, los adultos de la ciudad forman la población. La media de sus gastos se llama $\mu$. Es un número fijo que desconocemos: esa es la cantidad buscada.

Preguntar a todos puede ser difícil. Seleccionas 100 personas: forman la muestra y su tamaño es $n=100$. Si sus gastos son $x_1,\ldots,x_{100}$, su media es $\overline x=(x_1+\cdots+x_{100})/100$. Es la estimación de $\mu$ que aporta esta muestra, no necesariamente su valor exacto.

Si la pregunta es «qué proporción usa el autobús», la cantidad poblacional buscada es $p$. Si lo usan $r=40$ personas de las 100 encuestadas, la proporción de la muestra es $\widehat p=r/n=40/100=0{,}4$. El símbolo sobre $p$ marca una estimación hecha con los datos.

Una estimación puntual es ese único número, como $\overline x$ o $\widehat p$. Una estimación por intervalo añade dos extremos para expresar la incertidumbre que introduce observar solo una muestra.

La muestra pretende informar sobre una población concreta. Una encuesta abierta entre seguidores de una red social puede dejar fuera a quienes no usan esa red y atraer más a quienes tienen una opinión fuerte. Una gran cantidad de respuestas no elimina automáticamente ese sesgo de selección.

En un muestreo aleatorio simple se selecciona al azar desde un listado que cubre la población. Todos los integrantes tienen oportunidad de selección; en el modelo habitual, las muestras posibles del mismo tamaño tienen igual probabilidad. También se revisa quién no responde: la falta de respuesta puede introducir sesgo después del sorteo.

En un muestreo sistemático se escoge un inicio al azar y después una persona cada cierto número de posiciones del listado. Por ejemplo, de un listado de 1000 personas queremos 100: el salto es 10. Sorteamos un inicio del 1 al 10 y seguimos con ese salto. Un patrón periódico del listado puede sesgar la selección.

En un muestreo estratificado separas grupos de la población y seleccionas al azar dentro de cada uno. Con afijación proporcional, si un grupo tiene $N_i$ personas de un total $N$, recibe $n_i=nN_i/N$ observaciones de una muestra de tamaño $n$. Conserva el peso del grupo.

En un muestreo por conglomerados se sortean grupos naturales, como centros o clases, y se estudian sus integrantes según el diseño. No equivale a asegurar una cuota de cada tipo de persona. Las fórmulas sencillas de este repaso usan el muestreo aleatorio simple e independencia que indican las orientaciones verificadas; no se trasladan a cualquier diseño sin revisar sus supuestos.

Una medida individual es una variable $X$: por ejemplo, el tiempo de un trayecto. Su media poblacional es $\mu$ y su desviación típica es $\sigma$. La media de una muestra de $n$ observaciones independientes es otra variable: $\overline X=(X_1+\cdots+X_n)/n$. Cambia de una muestra a otra.

La media de $\overline X$ sigue siendo $\mu$: promediar no desplaza el centro. Su dispersión disminuye porque unas observaciones por encima de la media pueden compensar otras por debajo. Para obtener la escala exacta, se suman las varianzas de observaciones independientes y se aplica la división por $n$.

La suma tiene varianza $n\sigma^2$. Al dividirla por $n$, la varianza se divide por $n^2$: $\operatorname{Var}(\overline X)=n\sigma^2/n^2=\sigma^2/n$. La desviación es la raíz de la varianza: $\sigma_{\overline X}=\sigma/\sqrt n$. Esta desviación de una estimación se llama error estándar.

Si la población es normal, la media muestral es normal para cualquier tamaño. Si la población no se sabe normal, una muestra suficientemente grande permite aproximar bajo las condiciones del modelo. Las orientaciones verificadas consideran grandes las muestras con $n\ge30$. La independencia sigue siendo necesaria.

Cada observación puede cumplir o no una característica. Si la probabilidad poblacional de cumplirla es $p$ y hay $n$ ensayos independientes con la misma probabilidad, el número de éxitos $R$ tiene distribución binomial. Su media es $np$ y su varianza $np(1-p)$.

La proporción muestral es $\widehat p=R/n$. Al dividir el número de éxitos entre el tamaño, su media pasa de $np$ a $p$ y su varianza de $np(1-p)$ a $np(1-p)/n^2=p(1-p)/n$. Por eso su desviación es $\sqrt{p(1-p)/n}$.

La proporción puede aproximarse por una normal si hay suficientes éxitos y fracasos esperados: revisa $np\ge5$ y $n(1-p)\ge5$. También se exige independencia. Para una probabilidad binomial aproximada por normal, el carácter discreto requiere corrección de continuidad; el intervalo aproximado de proporción que veremos después usa la fórmula inferencial especificada.

Si $p$ es desconocida, al construir el intervalo se sustituye por la proporción observada $\widehat p$. Es una estimación del error estándar; no convierte el intervalo aproximado en una cobertura exacta.

Un intervalo bilateral se construye dejando fuera una cola pequeña en cada lado de la campana normal. Si la confianza central es $1-\alpha$, la probabilidad total que queda fuera es $\alpha$ y se reparte en $\alpha/2$ por lado.

Para el 95%, el centro contiene $0{,}95$. Fuera queda $\alpha=1-0{,}95=0{,}05$ y cada cola contiene $0{,}025$. La tabla normal acumula desde la izquierda, por lo que hasta el extremo derecho cuenta $1-0{,}025=0{,}975$. Ese valor corresponde a $z\approx1{,}96$.

El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el extremo positivo que deja $\alpha/2$ a su derecha. En el dibujo, los bordes están en $-1{,}96$ y $1{,}96$; mira el área central, no la altura de la curva. Para el 90% se usa aproximadamente $1{,}645$ y para el 99%, $2{,}576$.

El nivel de confianza describe el procedimiento: al repetir el mismo muestreo y construir intervalos de esta forma, aproximadamente el porcentaje indicado de ellos cubriría el parámetro fijo. No es el porcentaje de individuos que queda entre los extremos de un intervalo para la media.

La cantidad buscada es $\mu$, la media de toda la población. La muestra aporta su media $\overline x$ y su tamaño $n$. En este modelo la desviación poblacional $\sigma$ es conocida; no la confundas con la media ni con una desviación estimada a partir de la muestra.

La media muestral fluctúa con error estándar $\sigma/\sqrt n$. El valor crítico $z$ marca cuántos errores estándar se necesita abarcar a cada lado para la confianza pedida. El margen de error es $E=z\sigma/\sqrt n$.

Pon el intervalo alrededor de la estimación que sí conoces: $(\overline x-E,\overline x+E)$. Esta forma sale de exigir que la distancia entre la media muestral y la poblacional no supere el margen: $-E\le\overline x-\mu\le E$. Despejar $\mu$ produce $\overline x-E\le\mu\le\overline x+E$.

Revisa las condiciones: muestra aleatoria e independencia, población normal o aproximación justificada por una muestra suficientemente grande, y desviación poblacional conocida. Los extremos conservan las unidades de la media. Calcula con todos los decimales y redondea al presentar el resultado.

La población tiene una proporción $p$ desconocida. Si en una muestra de tamaño $n$ hay $r$ respuestas favorables, la estimación es $\widehat p=r/n$. Ese número será el centro del intervalo.

Como no conocemos $p$, estimamos el error estándar con $\widehat p$: $s_{\widehat p}=\sqrt{\widehat p(1-\widehat p)/n}$. El factor $1-\widehat p$ es la proporción de respuestas no favorables. Multiplicar por el valor crítico da el margen $E=zs_{\widehat p}$.

El intervalo normal aproximado es $(\widehat p-E,\widehat p+E)$. Revisa la selección aleatoria, la independencia y que haya suficientes éxitos y fracasos observados para la aproximación. En los ejemplos se cumplen $n\widehat p\ge5$ y $n(1-\widehat p)\ge5$.

Puedes dar los extremos como proporciones o porcentajes. Para pasar a porcentaje multiplica ambos extremos por 100. Un margen de 0,03 equivale a 3 puntos porcentuales; no es un margen relativo del 3% de la proporción observada. Si esta aproximación produjera extremos fuera de 0 y 1, habría que revisar la adecuación del método.

Ahora no conocemos todavía los datos de una muestra: queremos decidir cuántas observaciones recoger. El enunciado fija una confianza y un error máximo $E$. Un tamaño válido debe hacer que el margen de la fórmula no supere ese límite.

Para una media con desviación conocida, exige $z\sigma/\sqrt n\le E$. Como las cantidades son positivas, puedes multiplicar por $\sqrt n$ y dividir por $E$: $\sqrt n\ge z\sigma/E$. Eleva al cuadrado y queda $n\ge(z\sigma/E)^2$.

Para una proporción se planifica con una previsión $p_0$: $z\sqrt{p_0(1-p_0)/n}\le E$ da $n\ge z^2p_0(1-p_0)/E^2$. Si no hay previsión, usa $p_0=0{,}5$: el producto $p_0(1-p_0)$ alcanza su máximo $0{,}25$ y exige el mayor tamaño. Si se da una previsión, el tamaño calculado se refiere a ella.

El tamaño es un entero. Si la cota es $384{,}16$, 384 no la cumple; el mínimo es 385. Si la cota fuera exactamente 400, el mínimo sería 400: «por exceso» no significa sumar siempre una persona. Comprueba el margen con el tamaño elegido y con el anterior.

Un intervalo simétrico se escribe $(L,U)$: $L$ es el extremo inferior y $U$ el superior. Si se construyó alrededor de una estimación $c$ con margen $E$, sus extremos cumplen $L=c-E$ y $U=c+E$.

Suma ambas igualdades: $L+U=(c-E)+(c+E)=2c$. Los márgenes se cancelan; divide por 2 y obtienes $c=(L+U)/2$. Para un intervalo de media, ese centro es $\overline x$; para uno de proporción, es $\widehat p$.

Resta la inferior de la superior: $U-L=(c+E)-(c-E)=2E$. Ahora se cancelan los centros; divide por 2 y queda $E=(U-L)/2$. La anchura total es $2E$, distinta del margen.

Si además conoces la confianza y $\sigma$ en un intervalo de media, puedes usar $E=z\sigma/\sqrt n$ para recuperar el tamaño. Despeja $\sqrt n=z\sigma/E$ y luego $n=(z\sigma/E)^2$. Si los extremos estaban redondeados, el tamaño obtenido puede ser aproximado.

En una media con dispersión conocida, $E=z\sigma/\sqrt n$. Para comparar cambios, indica qué datos se mantienen. Con la misma muestra y la misma desviación, aumentar la confianza aumenta $z$; por eso aumenta $E$ y el intervalo se ensancha sin mover su centro.

Con confianza y dispersión fijas, aumentar $n$ reduce el error porque aumenta su raíz en el denominador. La relación exacta es $E_2/E_1=\sqrt{n_1/n_2}$. No es una relación inversa directa entre $E$ y $n$.

Para reducir el error a la mitad, escribe $1/2=\sqrt{n_1/n_2}$. Eleva al cuadrado: $1/4=n_1/n_2$; despeja $n_2=4n_1$. Necesitas cuatro veces el tamaño, no dos. Para dividir el error entre 3, necesitas nueve veces el tamaño.

La confianza describe la cobertura del procedimiento. Un intervalo del 95% para una media no afirma que el 95% de los individuos esté entre sus extremos ni que la media poblacional se mueva cuando repites la encuesta.