Integrales: recuperar una función y calcular totales

Si te dan la derivada $2x$, una respuesta es $x^2$. También sirve $x^2+7$, porque al derivar el 7 desaparece. Sumar una cantidad fija cambia la altura de la curva, pero no cuánto cambia entre puntos.

Una función que pasa esa comprobación se llama primitiva. Sin otro dato, hay muchas: $x^2+C$, donde $C$ puede ser cualquier constante. Si te dicen que la función vale 4 cuando $x$ vale 1, ese dato permite elegir $C$.

El símbolo $\int$ pide encontrar primitivas. En $\int2x\,dx$, las letras $dx$ indican que integras respecto de $x$. Comprueba tu respuesta derivándola: si vuelve a dar $2x$, has encontrado una primitiva.

Quieres integrar $x^2$. Probar $x^3$ da demasiado al derivar: $3x^2$. Divide entre 3 y prueba otra vez: la derivada de $x^3/3$ es exactamente $x^2$.

La derivada de $x^{n+1}$ es $(n+1)x^n$. Si divides esa función entre $n+1$, al derivar el multiplicador se divide por el mismo número y queda $x^n$. De ahí sale la regla: aumentar el exponente y dividir entre él. Solo puedes hacerlo si $n+1\ne0$.

Con $1/x=x^{-1}$ no hagas esa receta: te llevaría a dividir entre 0. Su primitiva es $\ln|x|$ en un tramo que no cruce 0. Las barras vuelven positivo el número para el logaritmo. Para $e^x$, una primitiva es $e^x$. Para $\cos x$, es $\sin x$; para $\sin x$, es $-\cos x$: en cada caso, derivar la respuesta recupera lo que querías integrar.

En $(x^2+1)^3$, con $x$ igual a 1 calculas primero 2 y después $2^3$. Si llamas $u$ a $x^2+1$, la misma expresión queda $u^3$. Todavía no hemos integrado nada: solo abreviamos el nombre.

Prueba $(x^2+1)^4/4$ y derívala. Al derivar la potencia, el 4 se divide entre 4 y queda $(x^2+1)^3$. La regla de la cadena pide además multiplicar por $2x$, la derivada de $x^2+1$. Obtienes $2x(x^2+1)^3$. Por eso buscamos juntas la expresión interior y su derivada.

Para escribirlo más corto, pon $u=x^2+1$ y sustituye todo $2x\,dx$ por $du$. $dx$ dice que integras respecto de $x$; $du$, respecto de $u$. No cambies solo $dx$ dejando el $2x$ fuera. Al acabar, vuelve a escribir el resultado con $x$. Si hay límites, cámbialos también a $u$ o recupera $x$ antes de usar los originales.

Para integrar $xe^x$, prueba la función $xe^x$. Al derivarla obtienes $xe^x+e^x$: el primer término es lo que querías, pero sobra $e^x$. Si restas $e^x$ a la función probada, su derivada quita exactamente ese extra.

La regla del producto dice $(uv)'=u'v+uv'$. Si queremos el término $uv'$, restamos el otro: $uv'=(uv)'-u'v$. Al buscar primitivas, esto da el producto $uv$ menos la integral del término sobrante. La fórmula por partes escribe esa misma idea usando $dv=v'\,dx$ y $du=u'\,dx$.

Conviene que la segunda integral sea más fácil que la primera. Con $u$ igual a $x$, derivar da 1 y desaparece la $x$. Si tu elección complica la nueva integral, prueba otra elección o un método distinto.

Puedes escribir $1/[x(x+1)]$ como $1/x-1/(x+1)$. Para comprobarlo, multiplica arriba y abajo de $1/x$ por $x+1$, y arriba y abajo de $1/(x+1)$ por $x$. No cambias sus valores para los $x$ permitidos y ahora ambas tienen $x(x+1)$ abajo. Al restarlas, arriba queda $(x+1)-x=1$.

Separar así se llama descomposición en fracciones simples. Se usa con polinomios, expresiones como $x^2+3x-1$. A veces puedes simplificar antes: $(x^2+x)/x=x(x+1)/x=x+1$ cuando $x\ne0$, porque divides la misma multiplicación por $x$. El resultado es $x+1$, sin fracción; el 0 sigue excluido.

Para partes distintas como $x$ y $x+1$, busca $A/x+B/(x+1)$. Si aparece $x^2$ como parte de abajo, necesitas $A/x+B/x^2$. Para una parte $x^2+1$, usa $(Ax+B)/(x^2+1)$. Las letras son números por encontrar, no valores de $x$. Sigue dejando fuera los números que hacían 0 abajo en la fracción original.

Si entran 2 litros por minuto durante 3 minutos, acumulas $2\cdot3=6$ litros. Si entra agua cada vez más deprisa, no puedes multiplicar todo el tiempo por un único ritmo: tienes que sumar lo que entra en cada parte.

La integral definida hace esa suma para un ritmo que puede cambiar. Tiene un inicio y un final y da un número. En una gráfica, reúne tiras cuya altura es el ritmo y cuya anchura es el tiempo. Si el ritmo es negativo, esa parte resta al total.

Una primitiva permite calcularlo directamente: pon el número final en la primitiva, pon el inicial y resta final menos inicial. Esa diferencia deja solo lo acumulado dentro del tramo. La constante $C$ desaparece porque se sumaría igual en las dos evaluaciones.

La integral definida acumula cantidades. Si un depósito recibe agua por dos grifos, puedes sumar sus ritmos y acumular, o acumular cada aporte y luego sumarlos: da el mismo total. Matemáticamente, la integral de $f+g$ es la integral de $f$ más la de $g$, con los mismos límites.

Un factor constante puede salir fuera: acumular el doble del ritmo produce el doble del total. Así, la integral de $kf$ es $k$ por la integral de $f$. $k$ es un número fijo, no algo que cambia con $x$. Separar sumas y sacar factores constantes se llama linealidad.

También puedes dividir el intervalo. Si $a<c<b$, lo acumulado de $a$ a $b$ es lo de $a$ a $c$ más lo de $c$ a $b$. Se llama aditividad respecto del intervalo. No duplicas la primera parte ni omites la segunda.

Estas propiedades suponen que las integrales existen. Un producto o un cociente no se separa del mismo modo: integrar $fg$ no equivale en general a multiplicar sus integrales. Si hay una discontinuidad infinita, debes estudiar la integral antes de aplicar estas reglas.

En $x$ igual a 0,5, la recta $y=x$ tiene altura 0,5 y la curva $y=x^2$ tiene altura 0,25. Entre ellas hay $0{,}5-0{,}25=0{,}25$ de altura. Una tira fina entre las dos usa esa diferencia.

Para sumar todas las tiras, integra la función de arriba menos la de abajo. Si las curvas se cruzan y cambia cuál está arriba, divide el cálculo en ese cruce y cambia el orden de la resta.

El área debe quedar positiva. Entre una curva y el eje, el eje tiene altura 0. Si la curva está debajo, usa 0 menos su altura. Si sumaras alturas con signos sin separar los tramos, unas zonas podrían restar otras y no obtendrías su tamaño total.

Corta una lata en rodajas. En la cara circular, el radio va del centro al borde. El área del círculo es $\pi$ por radio al cuadrado; con radio 2, $\pi\cdot2^2=4\pi$. $\pi$ vale aproximadamente 3,1416. Si las rodajas tienen distintos radios, como en un cono, calcula el área de cada una antes de reunir sus volúmenes.

Al girar una región alrededor del eje horizontal, cada tira vertical forma un disco. El radio es la distancia desde el eje hasta el borde. Integrar el área de esos discos reúne el volumen a lo largo de $x$.

Si queda un hueco, la rodaja es un anillo: resta el círculo interior al exterior. Con radios 3 y 1, el área es $9\pi-\pi=8\pi$. No es un círculo de radio $3-1=2$. Si el eje cambia o la región lo cruza, vuelve a dibujar la rodaja antes de decidir los radios.

La arctangente es la función inversa de la tangente en su intervalo principal. Su derivada es $1/(1+t^2)$. Esta identidad permite integrar una cuadrática positiva aunque no tenga factores lineales reales.

En $x^2+a^2$ la escala no es uno. El cambio $t=x/a$ transforma el denominador en $a^2(1+t^2)$ y el diferencial en $a\,dt$. Sus factores dejan una constante $1/a$ delante de la primitiva.