Matrices: ¿qué te cuenta una tabla de números?

Leo tiene un 7, un 5 y un 8 en tres asignaturas; Nora, un 6, un 9 y un 4. Escribimos una línea horizontal por estudiante: $A=\begin{pmatrix}7&5&8\\6&9&4\end{pmatrix}$. La primera columna recoge la primera asignatura; la segunda, la segunda; la tercera, la tercera. La posición de cada nota permite saber de quién es y a qué asignatura corresponde.

Para localizar la tercera nota de Nora, bajas a la segunda fila y vas a la tercera columna: encuentras el 4. Esta tabla de números se llama matriz y podemos nombrarla A. Esa casilla se escribe $a_{23}$: el 2 te lleva a la fila y el 3 a la columna. Los números pequeños, llamados subíndices, son una dirección dentro de la tabla.

Hay dos filas y tres columnas: su tamaño es $2\times3$, siempre en ese orden. Si hubiera dos estudiantes y dos asignaturas, sería $2\times2$ y la llamaríamos cuadrada. En una matriz cuadrada, las casillas de fila 1-columna 1, fila 2-columna 2, etc., forman la diagonal principal. Estos nombres ayudan a leer qué casillas te pide un examen.

Dos tiendas cuentan cuadernos y carpetas. La tabla inicial es $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}$: cada fila es una tienda y cada columna un producto. Llega una entrega $B=\begin{pmatrix}4&1\\0&5\end{pmatrix}$. Para conocer el nuevo stock, juntas cuadernos con cuadernos y carpetas con carpetas en cada tienda: $A+B=\begin{pmatrix}5&3\\3&5\end{pmatrix}$. Esa es la suma de matrices.

Si duplicas todas las cantidades iniciales, obtienes $2A=\begin{pmatrix}2&4\\6&0\end{pmatrix}$. Aquí el 2 cambia cada casilla; se llama escalar porque es un solo número. Para sumar dos tablas deben coincidir sus filas y columnas y representar datos que quieras combinar. En los ejercicios sin etiquetas, comprueba al menos que tienen el mismo tamaño.

Si quieres que las filas sean productos y las columnas tiendas, escribes $A^T=\begin{pmatrix}1&3\\2&0\end{pmatrix}$. Las cantidades no cambian: solo cómo las organizas. Esa operación se llama transponer. Una matriz que no cambia al hacerlo se llama simétrica; por ejemplo, $\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}$.

Una tienda vende cuadernos a 5 € y carpetas a 6 €. Un pedido lleva 1 cuaderno y 2 carpetas: cuesta $1\cdot5+2\cdot6=17$ €. Otro lleva 3 cuadernos y 4 carpetas: cuesta $3\cdot5+4\cdot6=39$ €. Cada total sale de juntar cantidades y precios del mismo producto.

Pon los pedidos en $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ y los precios en $B=\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}$. Las dos cuentas anteriores forman $AB=\begin{pmatrix}17\\39\end{pmatrix}$. Esta operación se llama producto de matrices: cada fila de A se combina con cada columna de B. No multiplicas solo casillas que ocupan el mismo sitio.

Cada fila contiene dos cantidades y la columna contiene dos precios: puedes emparejarlos. Esa es la razón para exigir «columnas de A = filas de B». El resultado tiene una fila por pedido y una columna por lista de precios. En el examen, comprueba esa coincidencia antes de calcular; invertir el orden puede impedir el producto o cambiarlo.

Buscas dos números. Sabes que $x+y=5$ y $2x+3y=12$: al quitar dos veces la primera cuenta de la segunda queda $y=2$, y entonces $x=3$. Si la segunda cuenta fuera $2x+2y=10$, solo repetiría la primera: tanto $(3,2)$ como $(4,1)$ encajarían. La diferencia entre ambos casos está en los coeficientes.

Para $\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}$, la cuenta $1\cdot3-1\cdot2$ vale 1; para $\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}$ vale 0. Esa cuenta se llama determinante. En una matriz cuadrada, un valor distinto de cero permite recuperar una única entrada a partir de su salida; cero avisa de que no puedes hacerlo de forma única. Se escribe $\det(A)$ o $|A|$.

Con tres filas puedes reducir el cálculo a tablas de dos filas: tachas una fila y una columna, y calculas el determinante que queda. Ese número se llama menor de la casilla tachada. Para combinar los menores, los signos alternan $+,-,+$ en la primera fila; el menor con su signo se llama cofactor o adjunto. El ejemplo muestra las casillas exactas que hay que tachar.

Un lote pequeño lleva un cuaderno; un lote grande lleva dos cuadernos y una carpeta. Si al abrir los lotes cuentas 3 cuadernos y 1 carpeta, la carpeta revela que había un lote grande. Sus dos cuadernos dejan uno restante: había también un lote pequeño. Has reconstruido lo que había antes a partir de lo que ves después.

La matriz $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ convierte «lotes pequeños, lotes grandes» en «cuadernos, carpetas». Para volver atrás usamos $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}$: resta dos veces el número de carpetas al de cuadernos y conserva el de carpetas. Esa tabla que deshace la primera se llama inversa.

Si aplicas A y su inversa seguidas a $(1,1)$, vuelves a $(1,1)$; lo mismo ocurre con cualquier entrada. Por eso su producto es $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$, la matriz identidad: devuelve cada número sin mezclarlo con el otro. En el examen, la inversa de una matriz cuadrada existe si su determinante no es cero. Para dos filas usa la fórmula; para más filas puedes transformar $(A|I)$ por Gauss hasta $(I|A^{-1})$, operando sobre toda la fila.

De dos cantidades sabes «la suma es 5» y «el doble de la suma es 10». La segunda frase no distingue nada que la primera no distinguiera: $(3,2)$ y $(4,1)$ cumplen ambas. Si añades «la primera cantidad es 3», ya puedes saber que la segunda es 2. Hay dos condiciones que de verdad necesitas, aunque hayas escrito tres.

Las filas de coeficientes son $(1,1)$, $(2,2)$ y $(1,0)$. La segunda se obtiene duplicando la primera; puedes quitarla sin cambiar lo que sabes. A ese número de filas que no puedes reconstruir sumando múltiplos de otras se le llama rango. En esta tabla el rango es 2; en $\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}$ sería 1.

Para contarlas con seguridad, usa Gauss para dejar ceros bajo el primer número útil de cada fila. En la tabla ya escalonada, cuenta las filas que no son enteramente cero. También puedes buscar la tabla cuadrada más grande, extraída de A, con determinante no nulo: su tamaño da el rango. «Menor de orden 2» es el determinante de una de esas tablas $2\times2$.

Dos precios desconocidos son x e y. Una compra cuesta $x+ay$ y otra cuesta $x+y$, donde a dice cuántas unidades del segundo producto lleva la primera. Si $a=1$, ambas compras contienen lo mismo. Si $a=2$, la primera lleva una unidad más de y: comparar los dos totales permite saber su precio.

La letra a, cuyo valor todavía no se ha fijado, se llama parámetro. Cada valor da una matriz diferente, $A=\begin{pmatrix}1&a\\1&1\end{pmatrix}$. Su determinante es $1-a$. En $a=1$ vale cero y las filas coinciden; para cualquier otro valor las dos compras permiten recuperar los dos precios a partir de sus totales.

«Discutir según a» pide separar estos comportamientos. Escribe un caso para $a=1$ y otro para $a\ne1$, que significa «a distinto de 1». Si llegas a una división por $a-1$, esa misma separación es necesaria: la fórmula no puede usarse cuando el divisor vale cero.

Sabes que unos lotes han dado 3 cuadernos y 1 carpeta, pero desconoces cuántos lotes había. Si cada lote grande aporta dos cuadernos y una carpeta, primero retiras esos dos cuadernos: recuperas un lote pequeño y uno grande. En forma de tablas, conoces el contenido B y la regla A; buscas la columna X del pedido.

La relación es $AX=B$. Como A actúa antes de que veas la salida, aplicas su inversa a la salida: $X=A^{-1}B$. En la igualdad escribes $A^{-1}AX=A^{-1}B$; A y su inversa se deshacen y dejan X. No «divides entre una matriz»: multiplicas por una tabla concreta que deshace su efecto.

Si aparece $XA=B$, A está al otro lado de X. Para que la inversa quede junto a A, debes colocarla a la derecha: $X=BA^{-1}$. El orden importa: con $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, $AC=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}$ pero $CA=\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}$. Cambiar el orden cambia qué casillas se mezclan.