Matrices: ¿qué te cuenta una tabla de números?

Leo tiene un 7, un 5 y un 8 en tres asignaturas; Nora, un 6, un 9 y un 4. Escribimos una línea horizontal por estudiante: $A=\begin{pmatrix}7&5&8\\6&9&4\end{pmatrix}$. La primera columna recoge la primera asignatura; la segunda, la segunda; la tercera, la tercera. La posición de cada nota permite saber de quién es y a qué asignatura corresponde.

Para localizar la tercera nota de Nora, bajas a la segunda fila y vas a la tercera columna: encuentras el 4. Esta tabla de números se llama matriz y podemos nombrarla $A$. Esa casilla se escribe $a_{23}$: el 2 te lleva a la fila y el 3 a la columna. Los números pequeños, llamados subíndices, son una dirección dentro de la tabla.

Hay dos filas y tres columnas: su tamaño es $2\times3$, siempre en ese orden. Si hubiera dos estudiantes y dos asignaturas, sería $2\times2$ y la llamaríamos cuadrada. En una matriz cuadrada, las casillas de fila 1-columna 1, fila 2-columna 2, etc., forman la diagonal principal. Estos nombres ayudan a leer qué casillas te pide un examen.

Una sola fila forma una matriz fila; una sola columna, una matriz columna. En una matriz diagonal, las casillas fuera de la diagonal principal son cero. En una triangular superior son cero las que quedan debajo de esa diagonal; en una triangular inferior, las de encima. Por ejemplo, $\begin{pmatrix}2&3\\0&5\end{pmatrix}$ es triangular superior y $\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}$ es diagonal. La matriz nula tiene todas las casillas a cero. La identidad tiene unos en la diagonal y ceros fuera: $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

Trasponer una matriz intercambia filas y columnas: la casilla de fila 1-columna 2 pasa a fila 2-columna 1. Una matriz cuadrada es simétrica si queda igual al trasponerla. Es antisimétrica si la traspuesta coincide con cambiar el signo de todas sus casillas. Compruébalo con $K=\begin{pmatrix}0&3\\-3&0\end{pmatrix}$: al trasponer obtienes $K^T=\begin{pmatrix}0&-3\\3&0\end{pmatrix}$; al multiplicar $K$ por $-1$ obtienes esa misma tabla. Por tanto $K^T=-K$ y $K$ es antisimétrica.

En una antisimétrica, cada casilla de la diagonal se queda en su lugar al trasponer. Para coincidir con su opuesto debe cumplir $a=-a$. Suma $a$ a ambos lados: $2a=0$; divide entre 2 y queda $a=0$. Por eso su diagonal es cero. También debes comprobar las parejas fuera de la diagonal: $\begin{pmatrix}0&3\\3&0\end{pmatrix}$ tiene diagonal cero, pero es simétrica y no antisimétrica porque los dos 3 no son opuestos.

Dos tiendas cuentan cuadernos y carpetas. La tabla inicial es $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}$: cada fila es una tienda y cada columna un producto. Llega una entrega $B=\begin{pmatrix}4&1\\0&5\end{pmatrix}$. Para conocer el nuevo stock, juntas el mismo producto de la misma tienda: $A+B=\begin{pmatrix}1+4&2+1\\3+0&0+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&3\\3&5\end{pmatrix}$. Esa es la suma de matrices.

Si duplicas todas las cantidades iniciales, obtienes $2A=\begin{pmatrix}2&4\\6&0\end{pmatrix}$. Aquí el 2 cambia cada casilla; se llama escalar porque es un solo número. Para sumar dos tablas deben coincidir sus filas y columnas y colocar los mismos productos y tiendas en las mismas posiciones. En los ejercicios sin etiquetas, comprueba al menos que tienen el mismo tamaño.

Si quieres que las filas sean productos y las columnas tiendas, escribes $A^T=\begin{pmatrix}1&3\\2&0\end{pmatrix}$. Las cantidades no cambian: solo cómo las organizas. Esa operación se llama transponer. Una matriz que no cambia al hacerlo se llama simétrica; por ejemplo, $\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}$.

Una tienda vende cuadernos a 5 € y carpetas a 6 €. Un pedido lleva 1 cuaderno y 2 carpetas: cuesta $1\cdot5+2\cdot6=17$ €. Otro lleva 3 cuadernos y 4 carpetas: cuesta $3\cdot5+4\cdot6=39$ €. Cada total sale de juntar cantidades y precios del mismo producto.

Pon los pedidos en $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ y los precios en $B=\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}$. Las dos cuentas anteriores forman $AB=\begin{pmatrix}17\\39\end{pmatrix}$. Esa operación se llama producto de matrices. Para cada fila de pedidos, multiplica cada cantidad por el precio que ocupa el mismo lugar en la columna y suma los productos: $1\cdot5+2\cdot6$, después $3\cdot5+4\cdot6$.

Cada fila contiene dos cantidades y la columna contiene dos precios: puedes emparejarlos. Esa es la razón para exigir que el número de columnas de $A$ coincida con el número de filas de $B$. El resultado tiene una fila por pedido y una columna por lista de precios. En el examen, comprueba esa coincidencia antes de calcular; invertir el orden puede impedir el producto o cambiarlo.

Buscas dos números que cumplan $x+y=5$ y $2x+3y=12$. Multiplica ambos lados de la primera por 2: $2(x+y)=2\cdot5$, es decir, $2x+2y=10$. Resta esa ecuación de la segunda, en ambos lados: $(2x+3y)-(2x+2y)=12-10$. Queda $y=2$. Para averiguar $x$, pon ese 2 en lugar de $y$ en $x+y=5$: $x+2=5$. Resta 2 a ambos lados, $x+2-2=5-2$, y queda $x=3$. Si la segunda fuera $2x+2y=10$, la resta dejaría $0=0$: tanto $(3,2)$ como $(4,1)$ encajarían. Queremos distinguir esas situaciones mirando los números que multiplican $x$ e $y$.

Para $\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}$, la cuenta $1\cdot3-1\cdot2$ vale 1; para $\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}$ vale 0. Esa cuenta se llama determinante y se escribe $\det(A)$ o $|A|$. Si no da cero, los totales permiten averiguar una única lista de números (dos en este ejemplo), como $x=3$ e $y=2$ en las primeras ecuaciones. Si da cero, una misma lista de totales puede corresponder a distintos pares: con total 5 y su doble 10 encajan tanto $(3,2)$ como $(4,1)$. Esta regla se aplica a matrices con igual número de filas y columnas, llamadas cuadradas.

Con tres filas puedes reducir el cálculo a tablas de dos filas: tachas una fila y una columna, y calculas el determinante que queda. Ese número se llama menor de la casilla tachada. Al multiplicar cada casilla por el determinante de la tabla que queda, usa signos que alternan $+,-,+$ en la primera fila; el menor con su signo se llama cofactor o adjunto. El ejemplo muestra las casillas exactas que hay que tachar.

Un lote pequeño lleva un cuaderno; un lote grande lleva dos cuadernos y una carpeta. Si al abrir los lotes cuentas 3 cuadernos y 1 carpeta, la carpeta revela que había un lote grande. Sus dos cuadernos dejan uno restante: había también un lote pequeño. Has averiguado cuántos lotes había mirando los cuadernos y carpetas que contenían.

La matriz $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ convierte «lotes pequeños, lotes grandes» en «cuadernos, carpetas». Para volver atrás usamos $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}$: resta dos veces el número de carpetas al de cuadernos y conserva el de carpetas. Esa tabla que deshace la primera se llama inversa.

Si aplicas $A$ y su inversa seguidas a $(1,1)$, vuelves a $(1,1)$; también volverías a $(4,7)$ si esos fueran los dos números que habías puesto. Por eso su producto es $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$, la matriz identidad: devuelve cada número sin mezclarlo con el otro. En el examen, la inversa de una matriz cuadrada existe si su determinante no es cero. Para dos filas usa la fórmula. Para más filas, coloca $A$ e $I$ una al lado de la otra, con $I$ a la derecha: $(A|I)$. La barra solo separa ambas partes. Haz las restas y multiplicaciones de filas del método de Gauss en las dos partes de la tabla, incluidos los números de $I$; cuando la parte izquierda sea $I$, la derecha será la inversa: $(I|A^{-1})$.

Sabes que dos números suman 5 y que el doble de esa suma es 10. Tanto $(3,2)$ como $(4,1)$ cumplen las dos cuentas. La segunda no ayuda a elegir: basta duplicar la primera para obtenerla. Si añades «el primer número es 3», queda $3+y=5$. Para dejar solo el segundo número, resta 3 a ambos lados: $3+y-3=5-3$, luego $y=2$.

Las filas son $(1,1)$, $(2,2)$ y $(1,0)$, los números que multiplican $x$ e $y$ en esas cuentas. Retira $(2,2)$ porque $2(1,1)=(2,2)$ y conserva $(1,1)$ y $(1,0)$. Con la primera sabes la suma; con la tercera sabes $x$. Necesitas esas dos para averiguar ambos números: el rango es 2. El rango cuenta cuántas filas bastan después de quitar las que se pueden obtener multiplicando y sumando otras filas.

En una tabla mayor, multiplica filas completas por números distintos de cero y réstalas entre sí hasta obtener una escalera: el primer número distinto de cero de cada fila queda más a la derecha que el de la fila anterior. Cuenta entonces las filas que no son todas cero; esa cuenta da el rango. También puedes buscar dentro de la tabla el mayor cuadrado cuyo determinante no da cero. Por ejemplo, un cuadrado de dos filas y dos columnas tiene orden 2; su determinante recibe el nombre de «menor de orden 2».

Dos precios desconocidos son $x$ e $y$. Una compra cuesta $x+ay$ y otra cuesta $x+y$, donde $a$ dice cuántas unidades del segundo producto lleva la primera. Si $a=1$, ambas compras contienen lo mismo. Si $a=2$, la primera lleva una unidad más del producto cuyo precio es $y$: comparar los dos totales permite saber ese precio.

La letra $a$, cuyo valor todavía no se ha fijado, se llama parámetro. Cada valor da una matriz diferente, $A=\begin{pmatrix}1&a\\1&1\end{pmatrix}$. Su determinante es $1\cdot1-a\cdot1=1-a$. Para buscar cuándo da cero, escribe $1-a=0$ y deja $a$ sola: suma $a$ a ambos lados, $1-a+a=0+a$, y queda $1=a$. Ahí las filas coinciden; para cualquier otro valor, comparar los totales de las dos compras permite averiguar los dos precios.

«Discutir según $a$» pide separar estos comportamientos. Escribe un caso para $a=1$ y otro para $a\ne1$, que significa «$a$ distinto de 1». Si llegas a una división por $a-1$, esa misma separación es necesaria: la fórmula no puede usarse cuando el divisor vale cero.

Sabes que unos lotes han dado 3 cuadernos y 1 carpeta, pero desconoces cuántos lotes había. Si cada lote grande aporta dos cuadernos y una carpeta, resta del total esos dos cuadernos: recuperas un lote pequeño y uno grande. En forma de tablas, conoces el contenido $B$ y la regla $A$; buscas la columna $X$ del pedido.

La relación es $AX=B$: $B$ contiene los 3 cuadernos y la carpeta que has contado. Queremos dejar $X$ sola. Como $A$ está a su izquierda, multiplica ambos lados por la inversa desde la izquierda: $A^{-1}(AX)=A^{-1}B$. Al juntar $A^{-1}A=I$, queda $IX=A^{-1}B$. La identidad devuelve las mismas casillas de $X$, así que $X=A^{-1}B$. Cada paso conserva la igualdad y deja juntas $A$ y su inversa.

Si aparece $XA=B$, multiplica ambos lados desde la derecha: $XAA^{-1}=BA^{-1}$. El producto $AA^{-1}=I$ deja $XI=BA^{-1}$, luego $X=BA^{-1}$. No intercambies las tablas para juntar las que quieras: con $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, $AC=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}$ pero $CA=\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}$. Cambiar el orden cambia qué casillas se mezclan.

Una factorización escribe una matriz como producto de otras. En $A=BB^T$, $B^T$ es la traspuesta: sus filas son las columnas de $B$. No eleva al cuadrado cada entrada y no significa que $B$ sea una raíz calculada casilla por casilla.

Si $B$ es triangular inferior de orden 2, su entrada superior derecha vale 0. Escribe $B=\begin{pmatrix}a&0\\b&c\end{pmatrix}$; $a$, $b$ y $c$ son tres números reales que debes encontrar. Su diagonal está formada por $a$ y $c$.

Dos matrices son iguales cuando coinciden todas las casillas correspondientes. Al escribir el producto aparecen ecuaciones para esos números. Un cuadrado puede dar dos signos: conserva ambos mientras ninguna condición los descarte.