Probabilidad: ordenar qué puede pasar

Lanzas un dado equilibrado. «Salir par» deja las caras 2, 4 y 6: tres de las seis caras. «Salir mayor que 4» deja 5 y 6. Esas listas de resultados que cumplen una condición se llaman sucesos.

«Par y mayor que 4» deja solo el 6. «Par o mayor que 4» admite 2, 4, 5 y 6: el 6 no se cuenta dos veces. En matemáticas, «y» es intersección y «o» es unión; este «o» incluye también que se cumplan las dos cosas.

Como las seis caras son igual de probables, tres caras de seis dan probabilidad $3/6=0{,}5$, o 50 %. La probabilidad va de 0 a 1 y mide la proporción esperada al repetir muchas veces, no un resultado asegurado en pocos lanzamientos. Contar caras de esta manera solo sirve si todas tienen el mismo peso.

En una clase de 30 personas, 12 hacen deporte y 5 de esas 12 también estudian música. Si eliges a alguien de toda la clase, hay 5 entre 30 que cumplen las dos cosas. Pero si ya sabes que hace deporte, solo quedan 12 candidatos: 5 entre 12 estudian música.

La pregunta «¿estudia música sabiendo que hace deporte?» usa ese grupo reducido. Se llama probabilidad condicionada. No cambia quién cumple las dos condiciones; cambia el grupo con el que comparas esos casos.

Lee la condición en el orden correcto. «Hace deporte sabiendo que estudia música» necesitaría conocer cuántas personas estudian música en total. No puedes responderla con 5/12 solo por intercambiar las palabras.

Una bolsa tiene 2 rojas y 1 azul. Si primero sale roja, quedan una roja y una azul. Si primero sale azul, quedan dos rojas. Las opciones del segundo paso cambian según por dónde hayas llegado.

Un dibujo con esas bifurcaciones es un árbol de probabilidades. Cada rama usa la proporción de la situación que hay en ese momento. Un camino completo exige el primer resultado y luego el siguiente: multiplicas la primera probabilidad por la segunda, calculada dentro de lo que queda.

«Exactamente una roja» en dos extracciones acepta dos caminos: roja-azul y azul-roja. Como no pueden suceder a la vez en una misma extracción doble, sumas sus probabilidades. Desde una bifurcación, las ramas deben sumar 1 si has dibujado todas las opciones.

La máquina A fabrica el 60 % y la B el 40 %. El 10 % de las piezas de A y el 30 % de las de B son defectuosas. Para visualizarlo con 100 piezas: 60 corresponderían a A, con 6 defectuosas; 40 a B, con 12 defectuosas. En conjunto serían 18 de 100.

La probabilidad total reúne esas dos aportaciones. Cada una depende del tamaño del grupo y de su proporción interna de defectos: «peso de A por defectos dentro de A», y lo mismo para B.

Los grupos deben cubrir todos los casos y no solaparse: cada pieza pertenece a una sola procedencia. Si A aporta más piezas que B, no promedies sus porcentajes de defectos como si fueran dos cajas del mismo tamaño.

Con los porcentajes de las dos máquinas, una representación de 100 piezas deja 6 defectuosas de A y 12 de B. Si te entregan una defectuosa, ya no eliges entre las 100: miras el grupo de las 18 defectuosas. De esas 18, 12 vienen de B.

La cuenta $12/18=2/3$ responde al origen conocido el resultado. Esa forma de volver desde el resultado a la procedencia se llama Bayes. Es la misma idea de una probabilidad condicionada: cambiar el grupo de referencia.

El 30 % de defectos dentro de B no responde a esta pregunta: allí el grupo era todas las piezas de B. Ahora el grupo es todas las defectuosas. También importa cuántas piezas fabrica B, no solo cuántos defectos tiene dentro de su propia producción.

Lanzas una moneda y un dado de forma independiente. Antes de mirar la moneda, sacar 6 en el dado tiene probabilidad 1/6. Después de saber que salió cara, sigue siendo 1/6: la noticia sobre la moneda no cambia la cuenta del dado.

Eso se llama independencia. En ese caso, para cara y 6 multiplicas $1/2$ por $1/6$. Si conocer el primer resultado cambiara la segunda probabilidad, tendrías que usar la probabilidad condicionada que corresponde, no la original.

No lo confundas con «no pueden pasar juntos». En un mismo dado, si sabes que salió 1, ya no puede haber salido 2. Esos sucesos son incompatibles, pero conocer uno sí cambia la probabilidad del otro. La independencia describe probabilidades; por sí sola no demuestra relaciones de causa y efecto.

La bolsa tiene 3 rojas y 2 azules. La primera roja tiene probabilidad 3/5. Si sale roja y no la devuelves, quedan 2 rojas entre 4 bolas: la segunda roja tiene ahora probabilidad 2/4, no 3/5.

No devolver se llama extraer sin reemplazamiento. Las etapas están relacionadas porque la primera cambia lo que queda para la segunda. Para repetir la proporción inicial, tendrías que devolver la bola y mezclar antes de volver a sacar al azar.

Sacar dos bolas a la vez puede pensarse como sacarlas una después de otra sin devolverlas: así puedes seguir los caminos. Contar éxitos en ese muestreo de una población finita no es exactamente binomial, porque las probabilidades no se mantienen iguales e independientes.