Probabilidad: contar en el grupo correcto

En un dado equilibrado, «salir par» admite 2, 4 y 6. «Salir mayor que 4» admite 5 y 6. Cada grupo de resultados que cumple una condición se llama suceso.

«Par y mayor que 4» solo admite el 6. «Par o mayor que 4» admite 2, 4, 5 y 6; no contamos el 6 dos veces. A «y» lo llamamos intersección y a «o», unión. En esta unión también cuentan los resultados que cumplen ambas condiciones.

Si las seis caras son igual de probables, para «par» sirven 3 de 6: $P(A)=3/6=0{,}5$, o 50 %. Para «par o mayor que 4», sumar $3/6+2/6$ cuenta el 6 dos veces: resta una vez $1/6$. Así sale $4/6$. Este modo de contar exige resultados igual de probables; tampoco promete tres pares en cada seis lanzamientos.

La probabilidad mide incertidumbre antes de conocer el resultado. Decir 0,6, o 60 %, no asegura lo que ocurrirá en un intento concreto. Para usar ese número necesitas saber cómo se obtuvo y qué situación describe.

Interpretación clásica: en un dado equilibrado, las seis caras tienen la misma probabilidad. Para salir par sirven 2, 4 y 6, así que divides tres casos favorables entre seis posibles. La regla de Laplace, casos favorables entre posibles, exige esa igualdad; que haya dos opciones no hace automáticamente que cada una tenga probabilidad 1/2.

Interpretación frecuentista: repites el mismo experimento en condiciones comparables y miras qué fracción de veces sucede lo que buscas. Si salen 54 caras en 100 lanzamientos, la frecuencia observada es 54/100. Sirve para estimar una probabilidad; una muestra corta fluctúa y no demuestra que la moneda tenga probabilidad exacta 0,54.

Interpretación subjetiva: el número expresa una valoración de lo probable que es un suceso según la información disponible. Por ejemplo, una estimación informada sobre si terminarás un trabajo mañana. Debe ser coherente con las reglas de probabilidad y puede actualizarse con nueva evidencia; no convierte una opinión en un dato observado ni en una certeza.

Kolmogorov resumió las reglas básicas en tres axiomas. Un axioma es una regla de partida. Primero: ninguna probabilidad es negativa. Segundo: la probabilidad del conjunto de todos los resultados, $\Omega$, es 1. Alguno de esos resultados tiene que ocurrir.

Tercero: si los sucesos no comparten ningún resultado, la probabilidad de reunirlos es la suma de sus probabilidades. Se aplica también a una lista infinita numerable de sucesos sin solapamientos, sumando su serie. En los problemas de clase solemos usar pocos grupos.

De estas reglas sale que el suceso imposible, $\varnothing$, tiene probabilidad 0 y que cualquier probabilidad está entre 0 y 1. Un suceso y su complementario no se solapan y reúnen todo $\Omega$: por eso $P(A)+P(A^c)=1$. Resta $P(A)$ en ambos lados y queda $P(A^c)=1-P(A)$.

Si $A$ y $B$ se solapan, no puedes sumar sin corregirlo. Cuenta por separado solo $A$, ambos y solo $B$. Al sumar $P(A)+P(B)$ habías contado la parte común dos veces: quita una copia de $P(A\cap B)$. No necesitas independencia para esta regla de la unión.

Piensa en dos condiciones. «Ni $A$ ni $B$» pide que fallen las dos. Es lo mismo que negar «$A$ o $B$»: quedarte fuera de toda su unión. Así sale la primera ley de De Morgan: $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$.

«No las dos a la vez» solo descarta los resultados que cumplen ambas. Puede cumplirse únicamente $A$, únicamente $B$ o ninguna. Es la segunda ley: $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$. El «o» incluye que fallen ambas.

Cuando niegas un grupo entero, cambia «o» por «y», o «y» por «o», y niega cada condición. Esto no convierte una unión en intersección sin más: también cambias cada suceso por su complementario.

Para calcular «ninguno», resta de 1 la probabilidad de la unión. Para «no ambos», resta de 1 la intersección. No restes $P(A)$ y $P(B)$ por separado sin revisar la parte común, porque podrías quitarla dos veces.

El rectángulo de Venn representa todos los resultados posibles. Un círculo contiene los de $A$ y el otro, los de $B$. La zona donde se cruzan representa ambos. Fuera de los dos círculos están los que no cumplen ninguna condición. Las áreas son un esquema: los números escritos indican las cantidades o probabilidades.

Hay cuatro zonas sin solapamientos: solo $A$, ambos, solo $B$ y ninguno. Si hay 18 personas en $A$ y 9 también están en $B$, solo $A$ contiene $18-9=9$, no 18. Los 9 de ambos ya están incluidos en el total de $A$.

Una tabla de contingencia organiza ese mismo reparto en filas y columnas: una fila para $A$ y otra para no $A$; una columna para $B$ y otra para no $B$. Sus cuatro casillas son las cuatro zonas del dibujo. Las sumas de filas y columnas dan los totales de cada grupo.

Para «exactamente una condición», reúne las dos zonas exclusivas y deja fuera la parte común. Para «sabiendo que $A$», divides dentro de $A$: su total es solo $A$ más ambos. El dibujo no implica independencia; primero debes comprobarla si la necesitas.

En una clase hay 30 personas. 12 hacen deporte y 5 de esas 12 estudian música. Entre toda la clase, hacen las dos cosas 5 de 30. Entre quienes hacen deporte, estudian música 5 de 12.

Si sabes que la persona elegida hace deporte, la pregunta se responde con $5/12$: las otras 18 personas ya no son candidatas. Se llama probabilidad condicionada porque el dato conocido cambia el grupo en el que calculas.

Cambiar el orden cambia la pregunta. «Hace deporte sabiendo que estudia música» se calcula entre quienes estudian música. Para responder necesitas saber cuántos son en total; 5/12 no sirve solo por invertir las palabras.

Una bolsa tiene 2 rojas y 1 azul. Si primero sale roja, queda una de cada color. Si primero sale azul, quedan dos rojas. La probabilidad del segundo color depende de cuál salió primero.

Un árbol dibuja esas posibilidades con ramas. Para «primero roja y después azul», multiplicas $2/3$ por $1/2$: la segunda probabilidad ya cuenta lo que queda después de sacar roja.

Si piden exactamente una roja en dos extracciones, sirven roja-azul y azul-roja. Suma sus probabilidades porque son dos maneras distintas de cumplir la pregunta. Desde cada punto del árbol, las ramas deben sumar 1 si has incluido todas las opciones.

Una máquina $A$ produce el 60 % de las piezas y $B$ el 40 %. Son defectuosas el 10 % de las de $A$ y el 30 % de las de $B$. Para visualizarlo, imagina 100 piezas: 60 de $A$, de las que 6 tendrían defecto; 40 de $B$, de las que 12 tendrían defecto.

Sobre esas 100 piezas, $A$ aporta $60\cdot0{,}10=6$ defectuosas y $B$ aporta $40\cdot0{,}30=12$. Se suman porque ninguna pieza viene de las dos máquinas: $(6+12)/100=18/100=0{,}18$. La probabilidad total hace ese mismo recuento con probabilidades: $0{,}60\cdot0{,}10+0{,}40\cdot0{,}30$.

Los grupos deben incluir todas las piezas, sin contar ninguna en dos grupos. No hagas el promedio simple de 10 % y 30 %: $A$ y $B$ no producen la misma cantidad. Cada porcentaje de defectos se aplica solo a las piezas de su propia máquina.

En el ejemplo de las máquinas, una representación de 100 piezas deja 6 defectuosas de $A$ y 12 de $B$. Si ya sabes que la pieza tiene defecto, eliges dentro de esas 18 defectuosas. De ellas, 12 son de $B$: $12/18=2/3$.

Bayes responde a «¿de dónde viene?» cuando ya sabemos que la pieza es defectuosa. Es una probabilidad condicionada: divides entre todas las defectuosas, no entre toda la producción ni entre todas las piezas de $B$.

Que el 30 % de las piezas de $B$ tenga defecto no significa que el 30 % de las defectuosas venga de $B$. Son preguntas al revés y usan grupos distintos. Para la segunda también importa cuántas piezas fabrica $B$.

Lanzas una moneda y un dado de forma independiente. La probabilidad de 6 en el dado es 1/6. Si sabes que la moneda dio cara, sigue siendo 1/6: esa información no cambia la del dado.

Eso es independencia. Para cara y 6 puedes multiplicar $1/2$ por $1/6$. Si el primer resultado cambiara el segundo, tendrías que multiplicar por la probabilidad que corresponde después de conocer el primero.

«Independientes» no significa «no pueden ocurrir juntos». En un mismo lanzamiento de dado, si sabes que salió 1, ya no puede haber salido 2. Son incompatibles: no pasan juntos, y saber uno cambia la probabilidad del otro.

Hay 3 bolas rojas y 2 azules. La primera roja tiene probabilidad 3/5. Si sale roja y no la devuelves, quedan 2 rojas entre 4 bolas: para la segunda roja usas 2/4.

«Sin reemplazamiento» significa que no devuelves lo extraído. El primer resultado cambia las probabilidades del siguiente. Si devuelves la bola y mezclas antes de sacar otra al azar, recuperas el contenido inicial y puedes repetir su probabilidad.

Sacar dos bolas juntas se puede pensar como sacarlas una después de otra sin devolverlas. Así puedes seguir un árbol. Ese recuento de colores no es exactamente binomial: la bolsa cambia y los intentos no mantienen probabilidades iguales e independientes.