Sistemas: ¿qué números hacen verdaderas todas las igualdades?

Un cuaderno y un bolígrafo cuestan juntos 3 €. Dos cuadernos y un bolígrafo cuestan 5 €. Si pruebas «cuaderno 2 €, bolígrafo 1 €», las dos compras cuadran: $2+1=3$ y $2\cdot2+1=5$. Si pruebas «cuaderno 1 €, bolígrafo 2 €», la primera cuadra pero la segunda cuesta 4 €, no 5 €.

Nombra los precios con $x$ e $y$: las cuentas se escriben $x+y=3$ y $2x+y=5$. Cada igualdad es una ecuación y las dos juntas forman un sistema. $x$ e $y$ se llaman incógnitas porque buscamos sus valores. Una solución tiene que hacer verdaderas las dos cuentas con los mismos valores.

El 2 de $2x$ es el coeficiente: indica cuántas veces aparece el precio $x$. El 5 es el término independiente: no acompaña ninguna incógnita. Estas ecuaciones son lineales porque solo suman incógnitas multiplicadas por números; una cuenta con $xy$ o $x^2$ ya necesitaría otro método.

Una compra de un cuaderno y dos bolígrafos cuesta 5 €; tres bolígrafos cuestan 6 €. Si $x$ es el precio del cuaderno e $y$ el del bolígrafo, escribes $x+2y=5$ y $3y=6$. En la segunda compra hay cero cuadernos: es importante conservar ese hueco al ordenar las cantidades.

Haz tres columnas: cuadernos, bolígrafos y total. Las filas son $(1,2\mid5)$ y $(0,3\mid6)$. La tabla que guarda solo las dos primeras columnas se llama matriz de coeficientes $A$. Si añades el total, obtienes la matriz ampliada $(A|b)$; $b$ es la columna $(5,6)$. La barra solo separa las cantidades de sus totales.

Esta tabla te permite multiplicar o restar ecuaciones usando sus filas sin copiar las letras en cada paso. Conserva siempre el orden $x$, $y$, total: si omites el cero inicial de la segunda fila, el 3 parecería referirse a cuadernos y cambiarías la compra. En el examen, completa esos huecos antes de hacer Gauss.

Un cuaderno y un bolígrafo cuestan 3 €; dos cuadernos y tres bolígrafos cuestan 8 €. Dos veces la primera compra serían dos cuadernos y dos bolígrafos, por 6 €. Al comparar con la segunda, solo queda un bolígrafo y 2 € de diferencia. Ya sabes un precio sin tantear parejas.

Con $x+y=3$ y $2x+3y=8$, queremos quitar $x$ de la segunda: multiplica ambos lados de la primera por 2, $2(x+y)=2\cdot3$, y obtén $2x+2y=6$. Resta esa ecuación completa de la segunda, en ambos lados: $(2x+3y)-(2x+2y)=8-6$, así que $y=2$. Para averiguar $x$, escribe 2 en el lugar de $y$ en $x+y=3$: $x+2=3$. Resta 2 a ambos lados, $x+2-2=3-2$, y queda $x=1$. Esta forma de averiguar los valores se llama eliminación de Gauss. Puedes recuperar la segunda ecuación original sumando dos veces la primera a $y=2$; por eso no has cambiado las soluciones.

En la tabla, $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ significa sustituir la fila 2 por esa diferencia; la fila 1 se conserva. La operación afecta también al 8 y al 3, no solo a los coeficientes. Puedes intercambiar filas, multiplicar todos los números de una fila por un mismo número distinto de cero o añadirle otra fila multiplicada por un número. El primer número distinto de cero que usas para eliminar los de debajo se llama pivote.

Buscas dos números que sumen 3. Si además su diferencia es 1, suma ambos lados de las cuentas $x+y=3$ y $x-y=1$: $(x+y)+(x-y)=3+1$, luego $2x=4$. Para dejar $x$ sola divide ambos lados entre 2: $2x/2=4/2$, así que $x=2$. En la primera queda $2+y=3$; resta 2 a ambos lados, $2+y-2=3-2$, y queda $y=1$. Si la segunda ecuación dice que el doble de la suma es 6, solo repite la primera: sirven $(2,1)$, $(3,0)$ y muchas parejas más. Si exige que ese doble sea 7, no puede cumplirse: el doble de 3 es 6.

Cuando una sola pareja sirve, el sistema se llama compatible determinado. Cuando puedes elegir entre infinitas parejas, se llama compatible indeterminado. Cuando no sirve ninguna, se llama incompatible. «Compatible» significa que puedes poner los mismos números en todas las ecuaciones y hacer verdaderas sus igualdades.

Después de Gauss, una fila $0=0$ siempre es cierta: pongas los números que pongas, ya no cambia la cuenta. Una fila $0=1$ es imposible, porque cero nunca vale uno. Si no aparece una igualdad imposible, comprueba si puedes averiguar cada incógnita o si puedes elegir una y calcular las otras a partir de ella.

En $x+y=3$ y $2x+2y=7$, los números delante de $x$ e $y$ se duplican, pero el total 3 no se duplica a 7: debería ser 6. Multiplica ambos lados de la primera por 2, $2x+2y=6$, y réstala de la segunda: $(2x+2y)-(2x+2y)=7-6$. Los términos con letras dan cero y el total da 1. Queda $(0,0\mid1)$, una fila que dice $0=1$.

Con los números que multiplican $x$ e $y$, después de la resta solo queda la fila $(1,1)$ con algún número distinto de cero: su rango es 1. Si incluyes la columna de totales, queda también $(0,0\mid1)$: su rango es 2. Esa fila dice $0x+0y=1$, imposible con cualquier pareja. Por eso, si los dos rangos son distintos, el sistema no tiene solución. Si son iguales, sí puedes elegir números que hagan verdaderas todas las ecuaciones.

Con tres incógnitas, $x+y=3$ e $y+z=5$ te permiten elegir $y$. Resta $y$ a ambos lados de cada cuenta y quedan $x=3-y$ y $z=5-y$: calculas esas dos después de elegir. Si conocieras también $y=2$, pondrías 2 en esas expresiones: $x=3-2=1$ y $z=5-2=3$, sin elecciones libres. La regla de Rouché–Frobenius resume la cuenta: cuando los rangos coinciden y valen el número de incógnitas, hay una sola solución; si coinciden pero son menores, hay infinitas.

Tienes $x+y=1$ y $x+ay=2$. Si $a=2$, escribe 2 en su lugar: la segunda es $x+2y=2$. Resta la primera completa, $(x+2y)-(x+y)=2-1$, y queda $y=1$. Pon ese 1 en la primera, $x+1=1$; resta 1 a ambos lados, $x+1-1=1-1$, y queda $x=0$. Si $a=1$, las cuentas exigirían a la vez $x+y=1$ y $x+y=2$: no puede ocurrir. Cambiar una sola letra ha cambiado si existe solución.

La letra $a$ es un parámetro: se deja abierta para preguntar qué ocurre en cada caso. Al restar la primera ecuación a la segunda, los términos con $x$ dan cero y queda $ay-y=1$. Como $y=1y$, puedes reunirlos: $ay-1y=(a-1)y$, así que $(a-1)y=1$. Si $a=1$, el número que multiplica a $y$ es cero; para los demás valores puedes dividir ambos lados entre $a-1$ para dejar $y$ sola.

En el examen, «discutir según $a$» no pide dar un valor para $a$: pide clasificar todos sus casos. Anota primero el valor que impide la división y escríbelo en cada lugar donde aparezca $a$ en la ecuación sin dividir. Solo después escribe la solución o el tipo para los demás valores.

Dos cantidades cumplen $x+y=3$ y $2x=y$. La segunda dice que $y$ es el doble de $x$: en la primera, escribe $2x$ donde ponía $y$. Queda $x+2x=3$, es decir, $3x=3$. Para dejar $x$ sola divide ambos lados entre 3: $3x/3=3/3$, luego $x=1$. Vuelve a $y=2x$ y pon ese 1 en lugar de $x$: $y=2\cdot1=2$. Para preparar una tabla, deja las letras a la izquierda de $2x=y$: resta $y$ a ambos lados, $2x-y=y-y$, y obtén $2x-y=0$.

La regla de Cramer obtiene esos valores con determinantes. La matriz de coeficientes es $A=\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}$ y el total es la columna $(3,0)$. Para $x$, cambia la columna de $x$ por ese total: su determinante vale $-3$, igual que el original, y dividir $-3$ entre $-3$ da 1. Para $y$, cambia la columna de $y$: el nuevo determinante vale $-6$ y dividir $-6$ entre $-3$ da 2.

Antes de usar esas divisiones, cuenta las ecuaciones y las incógnitas: debe haber el mismo número. Calcula también el determinante de $A$. Si no es cero, tienes un divisor con el que puedes calcular cada letra y una única solución. Si es cero, no hagas esa división; resta ecuaciones con Gauss para ver si queda $0=0$ o una igualdad imposible. En un sistema pequeño, Cramer puede ahorrar despejes.

Para encontrar dos números que sumen 3, puedes empezar por $(3,0)$, $(2,1)$ o $(4,-1)$. Si aumentas el segundo número en 1, el primero debe bajar en 1 para conservar la suma. Ya ves cómo construir nuevas parejas sin resolver desde el principio cada vez.

Elige el segundo número y llámalo $t$: $y=t$. En $x+y=3$, escribe $t$ donde estaba $y$: queda $x+t=3$. Para dejar $x$ sola resta $t$ a ambos lados, $x+t-t=3-t$, y obtén $x=3-t$. Así escribes todas las parejas como $(x,y)=(3-t,t)$. $t$ se llama parámetro libre porque lo eliges tú; no has añadido otra ecuación. $t\in\mathbb R$ permite cualquier número real, incluidos negativos y decimales.

Si otra ecuación solo repite la suma, como $2x+2y=6$, todas esas parejas seguirán sirviendo. En el examen, esta escritura permite dar todas las soluciones de un sistema indeterminado. Una sola pareja sería únicamente un ejemplo de solución, no la respuesta completa.