Distribuciones: contar éxitos y leer la campana

Lanzas dos monedas. Cara-cruz y cruz-cara son resultados distintos, pero los dos tienen una cara. Si decides contar caras, ambos se convierten en el número 1; cara-cara se convierte en 2 y cruz-cruz en 0.

Esa cantidad, cuyo valor depende del resultado, se llama variable aleatoria. La nombramos con una mayúscula, aquí $X$. Su distribución reúne los valores que puede tomar y la probabilidad de cada uno: para $X=1$ hay que juntar los dos resultados que dan una cara.

Un recuento como 0, 1 o 2 es discreto: no puede valer 1,5 caras. Una medida continua, como un modelo de altura, admite intervalos de valores. En un recuento sumas probabilidades de valores; en los modelos continuos habituales, como la normal, mides áreas entre límites.

Respondes al azar 5 preguntas, cada una con 4 opciones y una correcta. Aunque cada pregunta tenga cuatro respuestas, para contar aciertos solo separas «correcta» y «incorrecta». El número de aciertos puede ir de 0 a 5.

La binomial describe ese recuento cuando se cumplen cuatro condiciones: hay un número fijado de intentos, dos categorías para contarlos, la probabilidad de acierto es la misma y los intentos son independientes. Aquí hay 5 intentos y cada uno acierta con probabilidad $1/4$, si eliges cada respuesta al azar de forma independiente.

Llamar éxito a un resultado no significa que sea bueno: puedes contar piezas defectuosas como éxitos. Extraer sin devolver cambia la bolsa y no es exactamente binomial. Intentar hasta el primer acierto tampoco fija de antemano el número de intentos.

En tres intentos quieres exactamente dos éxitos. Hay tres órdenes: éxito-éxito-fallo, éxito-fallo-éxito y fallo-éxito-éxito. Si el éxito tiene probabilidad 0,2, cada orden pesa $0{,}2\cdot0{,}2\cdot0{,}8=0{,}032$. Reunir los tres da 0,096.

La fórmula binomial hace esa misma cuenta sin listar todos los órdenes. Las potencias cuentan los éxitos y fallos de un camino; el número combinatorio cuenta cuántas posiciones posibles tienen los éxitos. Todos esos caminos tienen el mismo peso porque los intentos son independientes y mantienen la misma probabilidad.

El combinatorio $\binom nk$ se calcula con $n!/[k!(n-k)!]$ o con la tecla nCr. El factorial es un producto que baja hasta 1: $4!=4\cdot3\cdot2\cdot1$; por convenio $0!=1$. No cuenta el orden en que eliges las posiciones, solo cuáles son.

En tres monedas, «exactamente una cara» admite solo el recuento 1. «Como mucho una» admite 0 y 1. «Al menos una» admite 1, 2 y 3. Las frases parecidas no seleccionan los mismos resultados.

Una probabilidad acumulada reúne todos los valores hasta un límite, incluyendo ese límite. En una calculadora, la opción puntual da la probabilidad de un solo valor; la acumulada suma desde el menor valor posible hasta el indicado.

A veces es más fácil contar lo que falta: «al menos una» deja fuera solo «ninguna». Como todo pesa 1, resta la probabilidad de ninguna a 1. Para «al menos k», quita los valores hasta $k-1$, sin quitar $k$, que sí debe entrar.

Un premio vale 0 o 4 puntos, cada uno con probabilidad 1/2. En muchas repeticiones esperarías aproximadamente tantos ceros como cuatros: el promedio se acerca a 2. Ese centro, llamado media o esperanza, puede no ser un premio posible: aquí nunca recibes exactamente 2.

Ahora compara distancias al centro: 0 está 2 por debajo y 4, 2 por encima. Si promediaras −2 y 2, se cancelarían. La varianza evita esa cancelación usando sus cuadrados: en este caso el promedio de las distancias al cuadrado es 4.

Para volver a medir la separación en puntos y no en puntos al cuadrado, toma la raíz de la varianza: sale 2. Eso es la desviación típica. La media se llama $\mu$, la desviación $\sigma$ y la varianza $\sigma^2$. En una binomial hay atajos: $\mu=np$ y $\sigma^2=np(1-p)$; la desviación es la raíz de esa segunda cantidad.

Imagina un modelo de alturas centrado en 170 cm, con muchas observaciones cercanas y menos hacia los extremos. Su dibujo tiene forma de campana y es simétrico: hay la misma proporción a cada lado de 170.

Ese modelo es la distribución normal. La media coloca el centro y la desviación típica determina lo ancha que queda la campana: con desviación 5 cm está menos extendida que con 10 cm. No son los límites de todas las alturas posibles; describen centro y separación.

La probabilidad entre dos alturas es el área bajo la campana entre ellas. El área completa es 1 y cada mitad pesa 0,5. La altura del dibujo no es una probabilidad. Un punto sin anchura tiene área 0; una medición redondeada a 170 cm en realidad representa un intervalo alrededor de 170, no un único valor de precisión infinita.

La media es 170 cm y la desviación típica 5 cm. Una altura de 180 está 10 cm por encima: dos pasos de 5. Una altura de 165 está 5 cm por debajo: un paso por debajo del centro.

Expresar la posición con esos pasos se llama tipificar. El número resultante es $z$: 180 se convierte en 2 y 165, en −1. El signo conserva el lado del centro y ya no hablamos en centímetros, sino en desviaciones típicas.

Si la variable original es normal, estas posiciones siguen la normal estándar: centro 0 y desviación 1. Esa es la que suele aparecer en las tablas. Para volver de una posición $z$ a centímetros, haz el camino inverso: multiplica por 5 y añade 170, o usa en general $x=\mu+\sigma z$.

Una tabla coloca el número 0,8907 junto a la posición 1,23. Si el encabezado dice «área acumulada a la izquierda», significa que el 89,07 % queda antes de 1,23; después queda $1-0{,}8907=0{,}1093$, o 10,93 %.

Esa lectura izquierda se llama $\Phi(z)$. Entre dos límites, quita el área izquierda del menor a la izquierda del mayor. Para un límite negativo usa la simetría: lo que queda muy a la izquierda de −1,23 tiene el mismo tamaño que la cola derecha de +1,23.

No todas las tablas ofrecen la misma zona. Si da el área entre 0 y un $z$ positivo, añade 0,5 para obtener todo lo que queda a su izquierda. En una tabla de filas con décimas y columnas con centésimas, 1,23 se busca en fila 1,2 y columna 0,03. Incluir o excluir un extremo no cambia el área en la normal.

Lanzas 100 monedas equilibradas y cuentas caras. El centro está en 50, pero «hasta 50» incluye también todo el recuento 50. Si lo dibujas como una barra entre 49,5 y 50,5, ves que cortar una campana justo en 50 dejaría fuera media barra que sí quieres contar.

Con suficientes intentos y probabilidades alejadas de 0 y 1, la binomial puede aproximarse por una normal de media $np$ y desviación $\sqrt{np(1-p)}$. Un criterio prudente habitual exige $np\geq10$ y $n(1-p)\geq10$; algunos ejercicios usan 5. Sigue el criterio indicado y recuerda que las colas muy pequeñas pueden aproximarse peor.

Ajustar el borde se llama corrección de continuidad: «hasta k» llega hasta $k+0{,}5$; «desde k» empieza en $k-0{,}5$; «exactamente k» usa la franja entre los dos bordes. Para «menos de k», decide primero que el último entero incluido es $k-1$. Esto aproxima una cuenta discreta con un área continua; no convierte ambos modelos en iguales.