Integrales: acumular y deshacer una derivada

Te dicen que las pendientes de una curva siguen la regla $2x$. La curva $x^2$ encaja: al derivarla sale $2x$. Pero $x^2+7$ también encaja: subir toda la curva 7 no cambia sus pendientes.

Cada regla que funciona al hacer esa prueba se llama primitiva. Como puedes subirla o bajarla una cantidad fija, no hay una única respuesta si no te dan otro dato. Esa cantidad que falta se escribe $C$, una constante que aún no conocemos.

El símbolo $\int$ pide buscar esas primitivas. En $\int 2x\,dx$, $dx$ indica que la variable que cambia es $x$. Si además te dicen, por ejemplo, que la curva pasa por un punto concreto, ese dato permite decidir cuánto hay que subirla o bajarla y fijar $C$.

Quieres una regla cuya derivada sea $x^2$. Probar $x^3$ produce $3x^2$: tres veces lo que buscas. Probar $x^3/3$ compensa ese 3 y ya da exactamente $x^2$.

Para una potencia, esa idea se resume así: aumenta el exponente en una unidad y divide por ese nuevo exponente. «Integral inmediata» significa que puedes reconocer la pareja sin otro método. En una suma hazlo con cada término y conserva los multiplicadores fijos.

Hay una excepción importante: $1/x=x^{-1}$ no usa esa receta, porque el nuevo exponente sería 0 y dividirías por 0. Su primitiva es $\ln|x|$ en tramos que no crucen 0; las barras hacen positiva la entrada del logaritmo. También sirven las parejas $\int e^x\,dx=e^x+C$, $\int\cos x\,dx=\sin x+C$ y $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$.

En $(x^2+1)^3$, introducir 1 da primero 2 y luego $2^3$; introducir 2 da primero 5 y luego $5^3$. Si llamas $u$ al resultado de la cuenta interior, la operación exterior queda simplemente $u^3$.

Para integrar no basta con cambiar un nombre: también cambia cómo medimos los avances de entrada. Si $u=x^2+1$, su derivada es $2x$, así que $du=2x\,dx$. Cuando la integral contiene ese $2x\,dx$, puedes reemplazar la pieza completa por $du$. Ese cambio se llama sustitución.

Una vez integrada la cuenta sencilla, recupera la variable original. Si había límites numéricos, cambia también los límites a valores de $u$, o vuelve a $x$ antes de usar los límites originales. No mezcles una respuesta en $u$ con límites que siguen representando $x$.

Quieres integrar $xe^x$. Si pruebas la función $xe^x$, al derivarla sale $xe^x+e^x$: lo que querías, pero con un término extra. Restar $e^x$ a tu propuesta elimina exactamente ese extra al derivar.

La integración por partes organiza esa corrección. Llama $u$ a lo que vas a derivar y $dv$ a lo que vas a integrar, incluido $dx$. Calcula $du$, la derivada de $u$ con su $dx$, y $v$, una primitiva de $dv$.

La fórmula conserva el producto $uv$ y resta la integral del término adicional. La elección útil hace esa nueva integral más sencilla: $x$ pasa a 1 al derivarlo y $e^x$ sigue siendo fácil de integrar. No todos los productos mejoran con este método.

Con entrada 1, $1/[x(x+1)]$ da $1/2$. La resta $1/x-1/(x+1)$ también da $1-1/2=1/2$. No solo coinciden ahí: poner la resta sobre un mismo denominador deja exactamente la fracción inicial.

Así has cambiado una fracción difícil por dos que sabes integrar. Esa separación se llama descomposición en fracciones simples. Funciona para funciones racionales: cocientes de polinomios, que combinan potencias enteras no negativas de $x$ como $x^2+3x-1$.

Cada factor lineal del denominador —una pieza como $x-a$— puede dar una fracción $A/(x-a)$, donde $A$ es un número por determinar. Si una pieza se repite o tiene segundo grado y no se separa en factores reales, hace falta una forma de descomposición distinta. Conserva siempre las entradas prohibidas por el denominador original.

Un grifo que siempre aporta 2 litros por minuto acumula 6 litros en 3 minutos. Si aporta cada vez más rápido, ya no sirve usar un único ritmo por todo el tiempo: repartes el tiempo en tramos pequeños y reúnes lo aportado en cada uno.

Esa acumulación se llama integral definida. Se escribe con una entrada inicial y una final y devuelve un número. En una gráfica, cada aportación es una tira: altura dada por la función y anchura dada por el pequeño avance de entrada. Las alturas negativas aportan con signo negativo.

Una primitiva permite obtener el total sin sumar todas las tiras una a una. Evalúala al final y al principio y resta final menos inicio: así conservas solo lo acumulado dentro del tramo. El $+C$ desaparece porque la misma constante estaría en ambas evaluaciones.

En la entrada 0,5, la recta $y=x$ está a altura 0,5 y la curva $y=x^2$ a altura 0,25. La tira que cabe entre ellas tiene altura $0{,}5-0{,}25=0{,}25$: altura superior menos inferior.

Para obtener toda la superficie, acumula esas alturas a lo largo del tramo. Por eso integras «curva de arriba menos curva de abajo». Si intercambian su posición, divide en el cruce y cambia el orden. Puedes encontrar los cruces buscando entradas que den la misma salida en las dos reglas.

El área geométrica siempre se cuenta positiva. Entre una curva y el eje, el eje tiene altura 0: si la curva cae debajo, resta 0 menos su altura. Integrar directamente toda la función puede cancelar zonas positivas con negativas y no dar el tamaño total.

Imagina una lata cilíndrica cortada en rodajas. Una rodaja con radio 2 tiene área circular $4\pi$; su volumen es esa área por su grosor. Si las rodajas tienen radios distintos, como en un cono, hay que acumular el volumen de cada una.

Girar una región alrededor del eje horizontal produce esas rodajas. Cada tira vertical genera un disco cuyo radio es su distancia al eje. Integrar el área de los discos a lo largo de $x$ reúne sus volúmenes. Eso se llama volumen de revolución.

Si hay un hueco, la rodaja es una arandela: círculo exterior menos círculo interior. Con radios 3 y 1, su área es $9\pi-\pi=8\pi$, no el área de un círculo de radio 2. Los radios son distancias, siempre no negativas; si cambia el eje o la región lo cruza, dibuja de nuevo la rodaja antes de elegirlos.