La idea antes del cálculo
Integrar recupera una primitiva o calcula una acumulación en un intervalo. Una primitiva se comprueba derivándola. En un área entre curvas, debes identificar qué función queda arriba en cada tramo.
Antes de empezar
- Distingue una integral indefinida de una definida.
- Añade la constante de integración cuando buscas primitivas.
- Calcula intersecciones y revisa el orden de las curvas antes de integrar un área.
Si falta alguna idea, vuelve a integrales desde la base y reconstruye un ejemplo antes de intentar estos ejercicios.
Elige una primitiva.
Elige qué parte derivar y cuál integrar pensando en si la nueva integral será más sencilla.
Haz un intento en papel y explica el primer paso. Abre después la solución para comparar.
Ver la solución paso a paso
- Saca la constante 4; toma u=x y dv=eˣdx.
- Entonces du=dx y v=eˣ.
- Resultado: 4(xeˣ−eˣ)+C=4eˣ(x−1)+C.
Resultado: 4e^x(x-1)+C
Comprueba tu respuesta
Deriva la expresión final para recuperar el integrando de partida.
Encuentra una primitiva en un intervalo que no pase por 0 ni −1.
El denominador y sus factores sugieren la descomposición que necesitas. Revisa el dominio antes de operar.
Haz un intento en papel y explica el primer paso. Abre después la solución para comparar.
Ver la solución paso a paso
- Descompón: 3/(x(x+1))=3/x−3/(x+1).
- Integra cada sumando en el intervalo indicado.
- Resultado=3ln|x|−3ln|x+1|+C.
Resultado: 3ln|x|−3ln|x+1|+C
Comprueba tu respuesta
Deriva la primitiva en los intervalos donde está definida y conserva los valores absolutos necesarios.
Calcula el área entre las curvas para 0≤x≤1.
El área geométrica se obtiene integrando superior menos inferior en los intervalos adecuados.
Haz un intento en papel y explica el primer paso. Abre después la solución para comparar.
Ver la solución paso a paso
- Se cortan en x=0 y x=1. En ese intervalo, 8x≥8x².
- A=∫₀¹(8x−8x²)dx.
- A=8(1/2−1/3)= unidades cuadradas.
Resultado:
Comprueba tu respuesta
Dibuja un esquema de las curvas y comprueba que el resultado es no negativo.
Qué repasar después del intento
Si el planteamiento falla, vuelve al concepto o a la condición que faltaba. Si falla una operación, conserva el método y practica ese paso. Si el resultado sale pero no puedes explicarlo, escribe de nuevo la conclusión conectándola con la pregunta.
No hace falta abrir tres bloques nuevos al acabar. Elige una dificultad concreta para la próxima sesión y recupérala unos días después. La guía para estudiar selectividad te ayuda a organizar ese repaso.
Sobre estos ejercicios
Material original de entrenaselectividad.com para practicar técnicas de Matemáticas II. Cada solución propone una comprobación para contrastar tu procedimiento. Nuestra metodología explica cómo distinguimos las respuestas comprobadas y la autoevaluación.