Sistemas: ¿qué números explican todas las condiciones?

Un cuaderno y un bolígrafo cuestan juntos 3 €. Dos cuadernos y un bolígrafo cuestan 5 €. Si pruebas «cuaderno 2 €, bolígrafo 1 €», las dos compras cuadran: $2+1=3$ y $2\cdot2+1=5$. Si pruebas «cuaderno 1 €, bolígrafo 2 €», la primera cuadra pero la segunda cuesta 4 €, no 5 €.

Nombra los precios con x e y: las cuentas se escriben $x+y=3$ y $2x+y=5$. Cada igualdad es una ecuación y las dos juntas forman un sistema. x e y se llaman incógnitas porque buscamos sus valores. Una solución tiene que hacer verdaderas las dos cuentas con los mismos valores.

El 2 de $2x$ es el coeficiente: indica cuántas veces aparece el precio x. El 5 es el término independiente: no acompaña ninguna incógnita. Estas ecuaciones son lineales porque solo suman incógnitas multiplicadas por números; una cuenta con $xy$ o $x^2$ ya necesitaría otro método.

Una compra de un cuaderno y dos bolígrafos cuesta 5 €; tres bolígrafos cuestan 6 €. Si x es el precio del cuaderno e y el del bolígrafo, escribes $x+2y=5$ y $3y=6$. En la segunda compra hay cero cuadernos: es importante conservar ese hueco al ordenar las cantidades.

Haz tres columnas: cuadernos, bolígrafos y total. Las filas son $(1,2\mid5)$ y $(0,3\mid6)$. La tabla que guarda solo las dos primeras columnas se llama matriz de coeficientes A. Si añades el total, obtienes la matriz ampliada $(A|b)$; b es la columna $(5,6)$. La barra solo separa las cantidades de sus totales.

Esta tabla te permite hacer operaciones de filas sin copiar las letras en cada paso. Conserva siempre el orden x, y, total: si omites el cero inicial de la segunda fila, el 3 parecería referirse a cuadernos y cambiarías la compra. En el examen, completa esos huecos antes de hacer Gauss.

Un cuaderno y un bolígrafo cuestan 3 €; dos cuadernos y tres bolígrafos cuestan 8 €. Dos veces la primera compra serían dos cuadernos y dos bolígrafos, por 6 €. Al comparar con la segunda, solo queda un bolígrafo y 2 € de diferencia. Ya sabes un precio sin tantear parejas.

Con $x+y=3$ y $2x+3y=8$, esa comparación se escribe «segunda ecuación menos dos veces la primera»: queda $y=2$. Después, la primera da $x=1$. Esta forma de quitar incógnitas por comparación se llama eliminación de Gauss. No descartas una condición: la sustituyes por otra que puedes recuperar con las anteriores.

En la tabla, $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ significa sustituir la fila 2 por esa diferencia; la fila 1 se conserva. La operación afecta también al 8 y al 3, no solo a los coeficientes. Puedes intercambiar filas, multiplicar una fila por un número no nulo o sumarle un múltiplo de otra. El primer número no nulo que usas para eliminar los de debajo se llama pivote.

Buscas dos números que sumen 3. Si además su diferencia es 1, quedan fijados: son 2 y 1. Si la segunda condición dice que el doble de su suma es 6, solo repite lo anterior: sirven $(2,1)$, $(3,0)$ y muchas parejas más. Si dice que el doble de la suma es 7, ninguna pareja puede cumplir las dos frases.

Estos tres resultados se llaman compatible determinado (una solución), compatible indeterminado (infinitas) e incompatible (ninguna). «Compatible» solo quiere decir que las condiciones pueden cumplirse juntas; los nombres llegan después de decidir qué ocurre con los números.

Gauss deja esas diferencias a la vista. Una fila $0=0$ no añade una condición: siempre se cumple. Una fila $0=1$ es imposible y descarta cualquier solución. Si no aparece ninguna contradicción, mira si puedes fijar todas las incógnitas o si una puede elegirse y las otras ajustarse.

Para $x+y=3$ y $2x+2y=7$, los coeficientes de la segunda fila duplican los de la primera, pero el total no: debería ser 6. Al restar dos veces la primera fila obtienes $(0,0\mid1)$. Los coeficientes han desaparecido y el total sigue exigiendo algo imposible.

La tabla de coeficientes tiene rango 1: solo conserva una fila útil. La ampliada tiene rango 2, porque añade esa fila con un 1. Cuando sus rangos son distintos, hay contradicción. Si coinciden, las condiciones pueden cumplirse; entonces compara el rango común con cuántas incógnitas necesitas fijar.

Si tienes dos incógnitas y dos condiciones que no repiten información, ambas quedan fijadas. Si tienes tres incógnitas y solo dos de esas condiciones, puedes elegir una y ajustar las otras. Esta regla se llama teorema de Rouché–Frobenius: rangos iguales significa compatible; además, rango igual al número de incógnitas significa una solución, y menor significa infinitas.

Tienes $x+y=1$ y $x+ay=2$. Si $a=2$, al quitar la primera cuenta de la segunda queda $y=1$ y después $x=0$. Si $a=1$, las cuentas exigirían a la vez $x+y=1$ y $x+y=2$: no puede ocurrir. Cambiar una sola letra ha cambiado si existe solución.

La letra a es un parámetro: su valor se deja abierto para preguntar qué ocurre en cada caso. Sin fijarlo, la resta de las dos ecuaciones da $(a-1)y=1$. El valor especial es $a=1$, porque hace cero el número que multiplica a y. Para cualquier otro valor puedes dividir y después obtener x.

En el examen, «discutir según a» no pide dar un valor para a: pide clasificar todos sus casos. Anota primero el valor que impide la división y sustitúyelo en la ecuación sin dividir. Solo después escribe la solución o el tipo para los demás valores.

Dos cantidades cumplen $x+y=3$ y $2x=y$. La segunda dice que y es el doble de x; sustituirlo en la primera da tres veces x igual a 3, luego $x=1$ e $y=2$. Ya sabemos qué respuesta debería devolver cualquier método.

La regla de Cramer obtiene esos valores con determinantes. La matriz de coeficientes es $A=\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}$ y el total es la columna $(3,0)$. Para x, cambia la columna de x por ese total: su determinante vale $-3$, igual que el original, y el cociente da 1. Para y, cambia la columna de y: el nuevo determinante vale $-6$ y el cociente da 2.

Este atajo requiere igual número de ecuaciones e incógnitas y un determinante original distinto de cero: así tienes una única respuesta y el divisor existe. Si el determinante original es cero, no puedes usar el cociente; Gauss permitirá distinguir infinitas soluciones de ninguna. En un examen, Cramer puede ahorrar despejes en sistemas pequeños.

Para encontrar dos números que sumen 3, puedes empezar por $(3,0)$, $(2,1)$ o $(4,-1)$. Si aumentas el segundo número en 1, el primero debe bajar en 1 para conservar la suma. Ya ves cómo construir nuevas parejas sin resolver desde el principio cada vez.

Nombra el segundo número con t. El primero tendrá que ser $3-t$: así todas las parejas son $(x,y)=(3-t,t)$. t se llama parámetro libre porque tú puedes elegirlo; no es una condición adicional. $t\in\mathbb R$ indica que puedes elegir cualquier número real, incluidos negativos y decimales.

Si otra ecuación solo repite la suma, como $2x+2y=6$, todas esas parejas seguirán sirviendo. En el examen, esta escritura permite dar todas las soluciones de un sistema indeterminado. Una sola pareja sería únicamente un ejemplo de solución, no la respuesta completa.