La idea antes del cálculo
Una operación de fila afecta a toda la ecuación, incluido el término independiente. El teorema de Rouché–Frobenius compara los rangos de la matriz de coeficientes y la ampliada; después hay que relacionarlos con el número de incógnitas.
Antes de empezar
- Escribe la matriz ampliada sin perder el término independiente.
- Conserva las equivalencias al hacer operaciones de fila.
- No dividas por una expresión con parámetro sin estudiar antes cuándo vale cero.
Si falta alguna idea, vuelve a sistemas de ecuaciones desde la base y reconstruye un ejemplo antes de intentar estos ejercicios.
Resuelve el sistema escalonado. ¿Cuánto vale x?
Usa las ecuaciones para eliminar incógnitas y conserva una cadena de pasos que puedas reconstruir.
Haz un intento en papel y explica el primer paso. Abre después la solución para comparar.
Ver la solución paso a paso
- La última ecuación da z=2.
- En la segunda, y=5−2=3.
- En la primera, x=9−3−2=4.
Resultado: (x,y,z)=(4,3,2)
Comprueba tu respuesta
Sustituye la solución completa en las tres ecuaciones de partida.
Clasifica un sistema de 4 incógnitas con los rangos indicados.
Los rangos permiten distinguir entre ninguna solución, una única solución e infinitas soluciones.
Haz un intento en papel y explica el primer paso. Abre después la solución para comparar.
Ver la solución paso a paso
- Compara los rangos 3 y 4.
- Los rangos son distintos: no hay solución.
- El sistema es incompatible.
Resultado: Incompatible
Comprueba tu respuesta
Relaciona tu conclusión con los rangos y el número de incógnitas; no te limites a escribir una etiqueta.
Para t=1, ¿cuántas soluciones tiene este sistema?
Una fila puede cambiar de significado al elegir un valor singular del parámetro. Estudia ese valor por separado.
Haz un intento en papel y explica el primer paso. Abre después la solución para comparar.
Ver la solución paso a paso
- Sustituye t=1.
- Las dos ecuaciones quedan iguales.
- Una ecuación independiente y dos incógnitas: infinitas soluciones.
Resultado: (x,y)=(8-s,s),\ s\in\mathbb{R}
Comprueba tu respuesta
Vuelve a las ecuaciones originales en cada caso especial y busca una contradicción o una ecuación dependiente.
Qué repasar después del intento
Si el planteamiento falla, vuelve al concepto o a la condición que faltaba. Si falla una operación, conserva el método y practica ese paso. Si el resultado sale pero no puedes explicarlo, escribe de nuevo la conclusión conectándola con la pregunta.
No hace falta abrir tres bloques nuevos al acabar. Elige una dificultad concreta para la próxima sesión y recupérala unos días después. La guía para estudiar selectividad te ayuda a organizar ese repaso.
Sobre estos ejercicios
Material original de entrenaselectividad.com para practicar técnicas de Matemáticas II. Cada solución propone una comprobación para contrastar tu procedimiento. Nuestra metodología explica cómo distinguimos las respuestas comprobadas y la autoevaluación.