Junio 2026

Una ventana tiene forma de rectángulo y está coronada por un semicírculo. Sabiendo que el perímetro de la ventana mide 8 metros, halla las dimensiones de la ventana que permitan la mayor entrada de luz.

Considera los puntos $A(1,2,0)$, $B(2,m,1)$, $C(3,4,2)$ y $D(1,-1,m)$.

a) [1 punto] Halla los valores de $m$ para los cuales los puntos anteriores son coplanarios.

b) [1,5 puntos] Para $m=1$, calcula el área del triángulo de vértices $A$, $B$, $C$ y el volumen del tetraedro de vértices $A$, $B$, $C$, $D$.

Considera el sistema $\begin{cases}3x-y=a^2\\(1-a)y+2z=0\\4y+(3-a)z=a-5\end{cases}$.

a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores de $a$.

b) [0,75 puntos] Para $a=0$, resuelve el sistema, si es posible.

Considera la matriz $A=\begin{pmatrix}\alpha&\beta&1\\2&\alpha&\beta\\3&4&\alpha\end{pmatrix}$, que cumple $\det(A)=-2$.

a) [1,5 puntos] Calcula $\begin{vmatrix}-3&-4&-\alpha\\\alpha-2&\beta-\alpha&1-\beta\\8&4\alpha&4\beta\end{vmatrix}$.

b) [1 punto] Calcula $\det\left(A^{-1}(A^t)^2A\right)$.

Dada la función $f:\mathbb R\to\mathbb R$ definida por $f(x)=\dfrac{8e^x-4e^{2x}}{1+e^x}$, halla la primitiva de $f$ cuya gráfica tiene por tangente a la recta $y=2x+12\ln(2)$ en el punto de abscisa $x=0$.

Sugerencia: puedes hacer el cambio $e^x=t$.

Disponemos de dos bolsas con monedas de oro y monedas de plata. En la primera hay 2 monedas de oro y 3 monedas de plata. En la segunda hay 6 monedas de oro y 3 de plata. Sin mirar, extraemos una moneda al azar de la primera bolsa y la depositamos en la segunda bolsa. Luego extraemos una moneda de la segunda bolsa.

a) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la segunda moneda sea de oro, sabiendo que la moneda que se extrajo de la primera bolsa era de plata.

b) [1,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la moneda que se extrajo de la primera bolsa fuera de plata, sabiendo que la segunda moneda es de oro.